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主要内容
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视频字幕

在这段视频中,我将向你们展示一种技巧 叫做配方法。 它的奇妙之处在于适用于任何二次方程, 它实际上是 二次方程的基。 在下个或者在那之后的视频, 我会用配方法来证明这个二次公式。 但在此之前,我们需要理解。 它到底是怎么回事。 这是建立在上一集视频基础上的, 我们用完全平方 求解了二次方程。 已知二次方程x² - 4x 等于5。 我在这里放这么大的空间是有原因的。 在上一集视频中,我们知道 如果左边是完全平方, 就可以很直接地求解出来。 你看,配方就是把二次方程变成完全平方, 对它进行工程处理, 两边加减 使它变成完全平方。 我们该怎么做呢? 为了使左边是完全平方的, 这里必须有某个数。 这里一定有某个数, 如果我有这个数的平方, 我用2乘以这个数,我得到-4。 记住这一点, 我想通过几个例子你就会明白。 我想要x² - 4x 加上某项等于x - a²。 我们还不知道a是多少, 但我们知道一些东西。 当我取平方时,这个等于 x² - 2a + a²。 如果你看这里的模式,它必须是 -- 抱歉,x² - 2ax -- 这里必须是2ax。 这里应该是a的平方。 所以这个数,a是-4的一半, a是-2,对吧 因为2乘以a等于-4。 a是-2,如果a是-2,a的平方是多少? 那么a的平方就是+4。 现在你们可能觉得这些很复杂, 但是我给你们展示的是基本原理。 你只需要看这里的系数, 好,系数的一半是多少? 系数的一半是-2。 所以我们可以说a等于-2,同样的, 然后平方。 对a平方,得到正4。 所以这里加上4。 加4。 从我们做过的第一个方程, 你应该知道 你不能只在方程的一边运算。 不能只在等式的一边加上4。 如果x² - 4x = 5,那么当我加4时, 它就不再等于5了。 这将会是5 + 4。 我们在左边加了4, 因为我们想让它是一个完全平方。 但是如果你在左边加上某项, 你必须在右边加上它。 现在,我们遇到了一个 和上个视频中一样的问题。 左边是什么? 我把整个式子重写一下。 我们现在得到x² - 4x + 4 = 9。 我们所做的就是方程两边同时加上4。 但是我们为了左边变成完全平方, 而加上了4。 这是什么? 什么数乘以它本身等于4? 而当我把它自身相加等于-2? 我们已经回答了这个问题。 它是-2。 我们得到(x - 2)(x - 2) = 9。 或者我们可以跳过这一步 写成(x - 2)² = 9。 然后两边同时开根号, 就得到x - 2 = ±3。 两边同时加上2,就得到x = 2 ± 3。 这告诉我们x可以等于2 + 3,也就是5。 或者x可以等于2 - 3,也就是-1。 我们完成了。 现在我想说明一下。 你可以完成这个方程而不用配方法。 我们可以从 x²- 4x = 5开始。 我们可以两边同时减去5, 得到x² - 4x - 5 = 0。 你可以这样想, 如果我有一个-5乘以1,那么它们的乘积是-5, 它们的和是-4。 所以我可以说这是 (x - 5)(x + 1) = 0。 然后我们说x等于5 或者x等于-1。 在这种情况下, 实际上可能有更快的解题方法。 但是配方法的奇妙之处 就在于它总是有效的。 它总是有效的,不管系数是多少, 不管问题有多复杂。 我来证明一下。 我们来做一个 传统上会很麻烦的问题, 如果我们试着做分解,特别是用分组 就像这样。 假设我们现在有 10x² - 30x - 8 = 0。 现在,从一开始, 我们可以两边除以2。 这确实简化了一点。 我们两边同时除以2。 如果把所有数都除以2,会得到什么? 我们得到5x² - 15x - 4 = 0。 但是同样的,现在系数前面有一个疯狂的5, 我们必须通过分组来解决它。 这是一个相当痛苦的过程。 但现在我们可以直接完成这个配方, 为了完成这个, 我现在要除以5得到1的系数。 你们会看到为什么 这和我们传统的做法不同。 如果我把这整个除以5, 我可以从一开始就除以10, 但我想先做这个,只是为了让你们知道 题目并没有告诉我们多少。 所有项都除以5。 如果每项都除以5, 就得到x² - 3x - 4/5 = 0。 你可能会问, 为什么我们要用分组来分解因素呢? 如果我们总是可以除以前面的系数, 我们就可以消去它。 如果我们除以正确的数, 我们总是可以把这个变成1或者- 1。 但是注意,通过这样做我们得到了这个疯狂的4/5。 用因式分解是非常难的。 你们可能会说, 哪两个数的乘积等于- 4/5? 这是一个分数, 什么时候我取它们的和,等于-3? 这是因式分解的一个难题。 用因式分解是很难的。 所以最好的方法就是用配方法。 我们想一下, 如何把它变成完全平方。 我喜欢做的是,你们会看到有几种方法, 我将展示两种方法,因为你们会看到 老师会用两种方法来做。我喜欢把4/5写在另一边。 让我们方程两边同时加上4/5。 你不需要这样做,但是 我喜欢把4/5移开。 如果方程两边同时加上4/5, 会得到什么? 方程的左边变成了x² - 3x, 不是4/5。 我要留一点空间。 这将会是等于4/5。 现在,就像上一个问题一样, 我们想把左边变成二项式的完全平方。 我们怎么做呢? 我们可以想, 什么数乘以2等于-3? 一个数乘以2等于- 3。 或者我们用-3除以2, 也就是- 3/2。 我们对- 3/2进行平方。 在这个例子中,我们说a是- 3/2。 如果对- 3/2平方,会得到什么? 我们得到9/4。 我只是取系数的一半,进行平方, 得到正的9/4。 这样做的目的就是 把左边变成完全平方。 现在,你对等式的一边做什么, 对另一边也要做同样的事情。 我们这里加9/4,这边也加一个9/4。 我们的方程变成什么了? 我们得到x²- 3x + 9/4等于, 我们看看能不能得到公分母。 4/5和16/20一样的。 分子分母同时乘以4。 + 20。 9/4和分子乘以5 相当于45/20。 16加45等于多少? 你看,这有点麻烦, 但这就是有趣的地方,我猜, 需要进行配方。 16 + 45。 这是55,61。 所以这里等于61/20。 我重新写一下。 x² - 3x + 9/4等于61/20。 疯狂的数字。 这个,至少在左边, 是一个完全平方。 这就等于(x - 3/2)²。 这是设计好了的。 - 3/2乘以- 3/2等于9/4。 - 3/2 +(- 3/2)等于-3。 这个的平方等于61/20。 两边同时开方得到 x - 3/2等于正的或负的 根号下61/20。 现在,方程两边同时加上3/2 得到x等于正的3/2加减 根号下61/20。 这是一个很疯狂的数字, 很明显,你不能通过因式分解 得到这个数字。 如果你想求它们的实际值, 你可以用计算器。 我这些都清除掉。 3/2 -- 我们先做加法。 我们要做的是3除以2加上2的平方根。 我们要取这个黄色的平方根。 61的平方根除以20,等于3.24。 这个疯狂的3.2464,我写成3.246。 所以这大约等于3.246, 这是正的形式。 让我们来做减法。 所以我们可以输入, 如果你第二次做,然后输入, 我们想要那个黄色的输入,这就是为什么我按了第二个按钮。 我按回车键,它输入了我们刚刚输入的东西, 我们可以改变成负号 得到-0.246。 你得到了-0.246。 你其实可以验证这些 是否满足原始方程。 原始的方程在上面。 我来验证一下其中一个。 图形计算器上的第二个解 是你用的最后一个解。 如果你用的是一个可变的解, 就是这个数。 如果我有解的平方, 我用这个解表示-0.24。 解的平方减去3乘以解减去4/5, 4除以5,等于 这需要解释一下。 它不会存储整个数字, 它会达到一定的精度。 它存储一些数字的位数。 当它用这个存储的数字计算它时, 它得到1乘以10的-14次方。 也就是0.0000。 这是13个0和一个1。 这是一个小数,是13个0和一个1。 所以这几乎是0。 实际上,如果你在这里得到了确切的答案, 如果你在这里得到了无限的精度, 或者如果你保持这个根号形式, 你会得到它确实等于0。 这个配方法的概念, 希望这对你们有帮助。 现在我们要把它推广到 我们可以使用的二次方程中, 我们可以代入一些数来求解任何二次方程。