主要内容

理解二次方程

更深入地了解一下二次方程公式，并理解如何在二次方程中使用它。

二次方程公式能帮你求解一元二次方程, 而它大概也是数学中的五个最常用的公式. 我们并不热衷于让你记忆公式，但这个公式非常有用 (并且我们也认为当你使用它时，你应该学会如何使用它的派生形式，但那会是第二个视频的内容了!)
如果你有一个这样的一般形式的一元二次方程：

a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0

那么这个公式会帮助你找到一个一元二次方程的根, 也就是当方程被解出时x的值.

二次方程公式

x, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction

它可能看起来有点吓人, 但你很快就会习惯的!
现在就使用公式进行练习.

例题

首先我们需要辨认出a, b, c的值 (即系数的值). 第一步是确保方程的形式和上述格式相同, 即a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0:

x, squared, plus, 4, x, minus, 21, equals, 0

a是x, squared前面的系数, 所以此处a, equals, 1 (注意a不能等于0 -- x, squared才是决定这个方程是二次方程的关键).
b 是x前面的系数, 所以此处b, equals, 4.
c为常数项, 它也是一个不带有任何x的项, 所以此处c, equals, minus, 21.

然后我们在公式中代入a, b, c：

x, equals, start fraction, minus, 4, plus minus, square root of, 16, minus, 4, dot, 1, dot, left parenthesis, minus, 21, right parenthesis, end square root, divided by, 2, end fraction

解决这个问题看起来像：

\begin{aligned} x&=\dfrac{-4\pm\sqrt{100}}{2} \\\\ &=\dfrac{-4\pm 10}{2} \\\\ &=-2\pm 5 \end{aligned}

因此x, equals, 3 或 x, equals, minus, 7.

这个解告诉了我们什么？

这两个解就是方程式的 x 交点, 即曲线与x轴的交点. 方程x, squared, plus, 3, x, minus, 4, equals, 0的图像看起来是这样的：

二次方程的解也就是它的截距，x, equals, minus, 4 和 x, equals, 1。

现在你也可以通过分解同类项, 补全完全平方, 作图来求解一个二次方程了, 那么我们为什么还需要这个公式呢？

因为有时二次方程比第一个例子要难解得多.

第二个例题

让我们试试通过用这个方法来解一个很难分解因数的方程：

3, x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 10

让我们先把它变成像左边所有项的形式：

start underbrace, left parenthesis, 3, right parenthesis, end underbrace, start subscript, a, end subscript, x, squared, plus, start underbrace, left parenthesis, 6, right parenthesis, end underbrace, start subscript, b, end subscript, x, plus, start underbrace, left parenthesis, 10, right parenthesis, end underbrace, start subscript, c, end subscript, equals, 0

公式告诉我们：

\begin{aligned} x&=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 3\cdot 10}}{2\cdot 3} \\\\ &=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-120}}{6} \\\\ &=\dfrac{-6\pm\sqrt{-84}}{6} \end{aligned}

已知我们不能给在不使用虚数的情况下给一个负数开根号, 这说明这个方程没有实数解. 而这也就意味着在任何时候都不会有y, equals, 0, 因为该函数不会与x轴相交. 我们也可以通过在计算器上作图来发现这一点：

现在你已经了解了二次方程的基本知识了!
在接下来的视频里会有更多例题供你参考.

使用二次公式时的小提示

注意为了使这个方法有效, 方程的表现式必须是这样的: a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0, 否则它就不会有效!
确保你是给left parenthesis, b, squared, minus, 4, a, c, right parenthesis整个项开的平方根, 并且2, a是所有在它之上的项的分母.
注意你的负数项：b, squared不能为负，所以若开始时b为负数, 确保将它变为一个正数, 因为负数或是正数的平方最终都是正的
保留plus, slash, minus符号并始终注意方程是否有两个解
如果你使用计算器, 答案可能会被取整到特定的小数位. 若问题要求求出精确的数字(通常如此)但平方根不能被轻易地简化, 保留答案中的平方根, 如 start fraction, 2, minus, square root of, 10, end square root, divided by, 2, end fraction和start fraction, 2, plus, square root of, 10, end square root, divided by, 2, end fraction.