求根公式证明

在上个视频中，我告诉你如果有一个 二次方程的形式是ax²+bx+c=0， 你可以用二次求根公式 来求出这个方程的解。 二次求根公式是x的解等于-b加减 根号下b方减4ac， 然后一整个 除以2a。 我们学会了如何使用它。 你只要把数字a代入a，b代入b， c代入c，然后得到两个答案， 因为这里有一个加号或减号。 在这个视频呢我想做的是 证明这个公式。 用配方来证明， 我可以从这个式子得到这个式子。 所以我要做的第一件事，这样我就能 从这里开始配方，我要做的事是—— 让我重写方程——我们有ax—— 让我用不同的颜色——我有 ax²+bx+c=0。 首先我要做的是把所有项都除以a， 所以这里就有一个1作为系数。 所有项都除以a，就得到x²+b/ax+c/a， 等于0/a， 还是0。 现在，我把c除以a项 放到右边，两边同时 减去c/a。 然后得到x²+ b/ax，加上， 这里我就不写了，因为这个没了； 两边都减去它，等于-c/a 我在这里留了个空， 这样我们就可以配方了。 你在配方的视频中看到了， 你就是取这个系数的1/2 然后平方。 那么b/a除以2等于多少？ 或者1/2乘以b除以a是多少？ 就是b除以2a，当然， 我们还要平方它。 取它的1/2，然后平方。 这就是我们配方的方法， 这样我们就可以把它变成二项式的完全平方。 当然，我们不能就把（b/2a）² 加到左边。 两边都要加上。 所以这里也有一个（b/2a）²。 那么现在会发生呢？ 这个式子， 就等于（x+b/2a）²。 如果你不相信的话，我就把它乘出来。 （x+b/2a）²就是（x+b/2a）乘以（x+b/2a）。 x乘以x等于x的平方。 x乘以（b/2a）等于（b/2a）x。 然后你有b/2a乘以x，也就是另一个（b/2a）x， 然后是b/2a乘以b/2a， 也就是加（b/2a）²。 这个和这个是一样的， 因为中间这两项，b/2a加上b/2a， 就等于（2b/2a）x，也就是（b/a）x。 所以这个化简成x²+（b/a）x，加（b/2a）²， 这就是我们在这里 写的。 这就是两边同时加上这一项的意义， 所以它变成了完全平方。 左边化简成这个。 右边可能没那么简单。 我们现在就先这样吧。 实际上，我们还是把它化简一下。 所以右边，我们可以重新写一下。 这就等于， 这就等于b的平方。 我先写这一项。这是b， 让我用绿色的来写。 所以这一项可以写成 b²/4a²。 那么这一项是什么？ 会变成什么呢？ 这就变成了，为了把4a²作为分母， 我们需要分子分母 同时乘以4a。 所以这一项就变成了 -4ac/4a²。 你可以自己验证一下 是一样的。 我只是让分子分母同时 乘以4a。 事实上，4消掉了，然后这个a也消掉了 只剩下c/a， 所以这三个是相等的。 我只是换了个顺序。 你可能已经开始看到了二次求根公式。 我可以重写一下。 这个我可以重写一下。 右边，在这里，我可以重写为b²-4ac， 一整个除以4a²。 这看起来非常接近。 注意，b²-4ac，它已经出现了。 我们还没有开平方根，但我们还没有 对方程两边同时 开平方根，让我们来做一下。 所以如果两边同时求平方根， 左边就变成x加——让我往下滚动一点—— x加（b/2a）就等于 这个的正负平方根。 这个的平方根是 分子的平方根除以分母的平方根。 所以它等于±√(b²-4ac)除以 √4a²。 现在，根号4a²是多少？ 是2a，对吧？ （2a）的平方等于4a²。 这个的平方根在这里。 从这里到这里，我只是方程两边 同时开平方根。 现在，这个看起来很接近二次求根公式。 我们有（b²-4ac）/2a， 现在我们只需要在方程两边减去b/2a 我们就做完了。 让我们来做一下。 所以如果方程两边都减去b/2a， 会得到什么？ 你得到x等于-b/2a，加减根号下b方减去4ac 再除以2a， 公分母。 所以这个等于-b， 让我换个颜色。 这是橙色的。 -b±√（b²- 4ac） 一整个除以2a。 我们做完了！ 通过用a、b、c前面的普通系数 来配方，我们就能推导出 二次求根公式。 就像这样。 希望你和我一样觉得这很有趣。