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主要内容
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视频字幕

在这个视频中, 我将会给你们介绍数学中, 可能是最有用的5个公式之一。 如果你看过我的一些视频, 你就知道我不喜欢记忆东西, 但是这次我建议你记住它, 还要记住怎么证明它, 我不想让你只知其然, 而不知其所以然。 现在让我们掌声有请 这个视频的主题: 一元二次方程求根公式! (以下简称求根公式) 你可能已经猜到了, 它是用来求一元二次方程的根的。 我们先来总体说一下, 然后我会给你们讲解一些题目, 这里是一个方程式, ax²+bx+c=0, 你应该认识它, 这是一个一元二次方程, a是x的平方的系数, b是x的系数, c, 可以说是x的0次方的系数, 或者说是常数项, 现在我们有一个基本的一元二次方程式, 求根公式告诉我们, 这个方程式的解就是: 负b加减根号下b平方减4ac除以2a, (-b±√(b²-4ac))/2a, 我知道你现在肯定想写张卷子冷静一下, 但是随着你不断练习, 你会发现这个公式其实很好记, 你很自然的就能把它写下来, 你可能会说, 这个公式怎么回事, 没吃药就出门了吧? 在下一个视频中, 我会告诉你它是怎么推出来的, 但是我想让你先习惯用它, 它实际上就是用配方法得出的, 只不过配的是字母, 如果你把这个方程配方求解, 结果就是求根公式。 我们来看一些问题, 先来一些简单的问题, 来验证这个公式是正确的, x²+4x-21=0, 这道题中, a等于1, 因为x²的系数是1, b等于4, 也就是x的系数, c等于﹣21, 也就是常数项, 现在我们把这些数字代入公式, x等于, 负b, 负b就是-4, -4加减, 根号下b的平方, b的平方是16, 4²=16, 减去4乘a, a=1, 再乘c, c等于-21, -21的负号会和, 前面的减号负负得正, 因为这是第一次, 我会慢慢来的, 所以-21, 就像这样代入, 然后用这些除以2a, a=1, 所以就是除以2, 现在开始化简, 如果有可能的话, x等于-4加减根号下, 根号下的减号和负号负负得正, 所以这里变成加号, 16加, 4乘1乘21, 等于84, 16加84等于100, 可以化简:-D, 这是一个完全平方, 这些除以2, 这就等于, -4加减10除以2, 我们可以直接把上面的两项除以2, 结果就等于, -4除以2等于-2, 加减10除以2, 等于5, x既可以等于-2+5, 结果是3, 也可以等于-2减5, 结果是-7, 求根公式给了我们这两个结果, 你可以把这些数字代入原公式来求证, 看这些答案对不对, 你也可以直接化简方程式, 哪两个数字相乘等于-21, 相加等于4? 化简后, (x+7)(x-3)=-21, 注意7乘-3是-21, 7加-3是4, 你会得到x加... 不好意思, 这不是-21, 应该等于0, 结果应该是0, 你会得到x+7=0, 或x-3=0, x就等于-7或3, 所以化简法的结果和公式的结果是一样的。 你可能会问, 既然结果都一样, 为什么要用公式? 用公式的原因是, 有些问题是不能化简的, 我们来看一些这类的问题, 一些很难化简的方程, 再找一些新的空间... 再把公式写一遍, 你可能还没记住它, x=(-b±√(b²-4ac))/2a, 用这个公式来解决另一个问题, 3x²+6x=-10, 首先我们想把它变回正常形式, 所有项都在左边, 两边同时加10, 我们得到3x²+6x+10=0, 现在我们可以应用求根公式了, 开始了... a=3, 这个是a, 这个是b, 这个是c, 根据求根公式, 这个方程的答案, 或称作这个方程的解, x等于负b, b=6, 所以是-6加减, 根号下b的平方, b是6, 平方后减去4乘a, a=3, 乘c, c=10, 根号画长一点... 用这些除以2乘a, a等于3, 所以是2×3, 我们得到了x等于, -6加减根号下, 36减去, 这很有意思, 4乘3乘10, 减去4乘3乘10, 也就是减去120, 这些除以6, 你可能已经注意到有什么问题了, 根号下化简后是多少? 36-120等于多少? 等于-84, (计算过程) (计算过程) 等于84, 所以结果就是-6加减, 根号下, 不是正84, 120减36等于84, 我们只有36-120, 结果就是-84, 这些除以6, 你可能认为, 这个公式果然没吃药, 为什么放弃治疗? 这什么也求不出来, 根号下有一个负数? 这不可能解出来, 你得不到答案的原因, 或者说得不到你想要的答案的原因, 是因为这个方程无解。 无实数解, 之后, 我们将会学到虚数, 虚数是一个负数的平方根, 我们可以用虚数来表示这个解, 所以这道题其实有解. 只不过这个解包含虚数, 所以我们说这道题没有"实数"解, 负数的平方根是虚数。 所以如果b²-4ac, 根号中的结果是负数, 这个方程没有实数解。 现在让我们来验证一下, 拿出图形计算器, 我们来画一下这个代数式的函数图像, y等于, 这是我原来画的, y=3x²+6x+10, 这就是我们刚刚解的方程, 我们来看一看它与x轴有没有交点, 在什么时候y=0? 开始画图... 注意, 这个图像向下延伸然后直接拐回去了, 它的顶点在x轴之上, 而且它是向上开口的, 它永远也不会和x轴有交点, 所以没有x值可以让这个方程, 这个函数等于0, 无论在函数上的哪个点, y都不等于0, 再一次, 我们证明了求根公式是有用的。 我们再来看一个问题, 你永远也做不完所有问题, 我想和你们做一个, 不太好化简的方程, -3x²+12x+1=0 这次我们试着回忆求根公式然后做这道题, 这道题的解是: -b, 这个是b所以-b就是-12, 加减根号下b², b²是144, 减去4乘a, a是-3, 乘c, c是1, 用这些除以2乘a, 除以2乘-3, 也就是除以-6, 这就等于, -12加减根号下, 根号下等于多少? 两个负号相乘, 负负得正, 所以根号下是144加12, 是156, 根号下144+12, 除以-6, 我觉得我们也许可以化简156, 把一些东西开方, 我们来试一试, 化简156, 有时候化简根号是最难的, 156等于2乘78, 78等于多少? 等于2乘39, 所以√156等于√(2×2×39), 或者说是√(2×2)×√39, 这一项, 很明显是4的平方根, 或者说√2²等于2, 化简后就是2√39, 如果我做的正确的话, 4乘39确实等于156, 看来是对的, 所以分子化简后就是-12±2√39, 分母是-6, 现在我们把分子分母同除以2, 这就等于负6加减根号39除以负3, 我们也可以分开除, 等于负6除以负3, 加减根号39除以负3, 前面的是2, 负号消除了, 6除以3等于2, 注意, 如果这是加号但这里有一个负号, 加就会变成减, 减就会变成加, 但是没关系, 2加减和减加(√39/-3)的结果是一样的, 这就是我们能得到的最简结果了。 我想再讲解一下我最后一步做了什么, 我不是忘了负号, 只不过这个负号不影响结果, 它会把加变成减, 把减变成加, 我们把它写下来, 这里可以写成2+√39/-3, 或者2-√39/-3, 这就是±符号的意思, 既可以是减也可以是加, 在这个算式中, -3会把, 加号变成减号, 是不是? 这个算式里, 我把这个负号拿出来, 两个负号在一起就变成正了, 你就会得到2+√39/3, 因为负负得正, 这样, 你的结果就是2±√39/3, 这个就是本方程的解。 我们来验证一下, 我就想知道函数图像是什么样的, 我们来看一下, 清除这些, 清除键呢=_= y=-3x²+12x+1, 开始画图... 我们来看一下函数与x轴的交点在哪, 图像向上, 然后拐下来, 所以2加减... 根号39就等于, 6多一点, 因为36是6的平方 √39就是6多一点, 除以3就是2多一点, 加上2之后, 就是4多一点, 减2就是1少一点, 这应该是正确的, 这个交点和4很接近, 这个交点, 看起来在原点, 但其实比0小一点, 最后, 希望你学会了如何运用求根公式。