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主要内容

抛物线变换导论

Sal 讨论了我们如何变换和缩放抛物线图,来得到另外的抛物线,以及这如何影响抛物线方程。 Sal Khan 创建

视频字幕

我在这里画了一个最典型的抛物线, y = x^2。 接下来我想看看会发生什么(变化),或者说 我可以如何改变这个抛物线。 让我们想几个例子出来。 我们先来看一下这个抛物线的图像。 这是y等于x的平方。 我们现在来想一下,y - k = x^2 的图像。 这个图像长什么样呢? 这边我们可以看到,当x = 0, x^2 = 0。 和这边黄色的抛物线一样。 也就是x^2等于y,或者说y等于x^2。 但我们现在看的函数里,x^2并不等于y。 这里它等于y - k。 所以当x = 0,再平方, 0^2 并不能给我们y。 0^2 给我们 y - k。 所以这里是y - k。 或者另一种思路是,这里是0。 如果0比y小k,那么不管k在图像上的哪里,y和k的位置一样。 所以说,图像上y在k的位置,也就是那里。 所以,至少这个坐标被改变了, y的值向上移动了k个单位。 事实上,其他所有的坐标也都有了同样的变化, 比如我们来看,当x在这里的时候, 在这个黄色抛物线上,如果你取x^2, 会得到这个坐标。 这个图明显比例不太准确, 但总之,如果你取x^2,你会得到这个坐标。 但对于这边的抛物线来说, 只取x^2还不能给我们y, x^2只给我们y - k。 所以y还要比这里高k个单位。 所以这里是y - k,y则比这里高k个单位。 所以y得在这个位置。 所以这个抛物线其实是把黄色抛物线向上移动k个单位 得到的结果。 所以当y - k = x^2的时候,其实就是把x^2 向上移动k个单位。 不管坐标在哪里,都向上移动k个单位。 这个移动距离是恒定的k个单位,这两个抛物线之间的 垂直距离。 我尽最大可能将这个(移动)画清楚。 这个垂直距离是恒定k个单位。 现在我们来想一下水平方向上的移动。 让我们想想,如果我不让y等于x^2, 我这次让y = x - h^2。 我们来想一下这个情况。 如果取0的平方,这是你会得到的y值。 你会得到y = 0。 我们在这里怎么得到y = 0呢? 答案是,我们必须让这个这里的值等于0。 所以x - h必须等于0,或者说x必须等于h。 所以我们可以说这里的x坐标是h。 所以x必须等于h。 所以一种思路是, 不管之前你取了哪个值的平方来得到y, 你现在需要取比之前的值 多h个单位的平方。 因为你要在这里减去h。 如果想得到0,x必须等于h。 在这里的话,如果你想得到1的平方,x必须等于1。 为了帮助我们更好地理解推导过程, 我们就让这里的x坐标等于1。 然后这里是1的平方,虽然图的比例画得不是特别精确。 所以这里的值也是1。 现在如果我们想要1的平方,我们不能只让x等于1, 我们得让x等于h + 1。 x必须得比1再多h个单位。 x必须得比1再多h个单位,才能得到和之前一样的坐标。 所以你可以看到,最终的影响是, y这次不等于x的平方本身了,而是等于x-h的平方, 这等同于把抛物线向右移动。 所以这个抛物线(让我用紫色画这个,用这个紫红色) 会是这个样子。 我们把原来的抛物线向右移动, 向右移动了h个单位。 现在我们再来想一个新的构想。 我们设想一下,想一下图像的变化, 如果我们让y等于负x的平方。 所以现在不管x的平方是多少, 我们取它的负值。 所以这里不管x值是多少,我们平方它之后, 都会得到一个正数。 而现在因为我们在平方前面乘了一个负1, 我们就会一直得到一个负数。 所以图像会长这样。 它是y = x^2图像与x轴对称 的镜面图像。 所以它的图像长这样。 我们就可以得到y等于负x的平方。 现在我们还可以想想怎么还能进一步变化这个图像。 比如y = -2x^2会是什么样呢? 事实上让我来分两个步骤来做这个变化。 首先y = 2x^2长什么样子呢? 我们暂且先考虑坐标都为正时候的情况, 也就是y = 2x^2。 当我们取任何x的平方的时候, 我们都把结果乘2。 所以这个图像的y坐标将会增长得更快。 所以图像差不多是这个样子, 会更窄更陡。 所以就差不多是这样。 再次解释一下,我就是画个差不多的图用来帮助理解, 图像比例可能没那么精确。 所以说给式子前面加一个系数会让y坐标增长更快。 现在如果我们来考虑y = -2x^2的话呢, 其实它就是一个在反方向负增长更快的图像。 差不多长这样, 也是一个和我刚画的图对称的图像。 差不多是一个长这样的更窄的抛物线。 同样的——我知道现在这个图像有点儿乱—— 但我就想提醒一下我们 我们是从y = x^2开始进行变化的, 也就是这边这个图像。 那如果我们让y = 1/2 x^2的呢? 我快没有多余的颜色可以用了。 如果我们说y = 1/2 x^2, 那么y坐标就会增长得更缓慢。 图像的大体形状还是一样,但会变得更宽。 因为它的纵坐标增长更慢。 也就是差不多会长这个样子。 所以希望这些函数的图像能帮助你稍微理解一下 我们可以如何改变抛物线的图像。 现在如果我举个例子,如果——我说一声我现在图像画的并不精确, 因为只是用图像来帮助大家大概具象化 我们在做的事情。 如果这里是y = x^2的话, 这个图像是y = x^2的图像的话, 让我换个新的颜色, 那么y - k = A(x - h)^2 的图像 差不多就长这样。 现在顶点坐标不再等于(0, 0)了, 顶点,也就是最低的这个点,或者 你也可以说最小或最大值的点, 也就是这个抛物线的极点, 在这里的坐标,一个开口向下抛物线的最大值, 或者一个开口向上抛物线的最小值, 这个顶点会被平移。 它会向右平移h个单位, 向上平移k个单位。 所以顶点最终会在这里。 x前面的系数是A,所以如果A = 1的话, 图像的宽窄不会变化。 所以开口大小和之前一样, 所以差不多是这个图像。 如果A大于1的话,图像会更陡,就像这样。 如果A大于0小于1, 抛物线就会有一个更宽的开口,差不多这样。 事实上,如果A = 0,那么我们将会得到一条直线。 如果A是负数但比-1少, 图像也会有很宽的开口。 我其实应该说, A比-1大, 也就是如果在0和-1之间的话, 它就会有一个很宽的开口。 如果A = -1,我们会得到和原本抛物线 对称的图像。 如果A小于-1的话, 也就是一个绝对值更大的负数,那么 我们会得到一个更陡的图像, 就像这样。 希望这个视频帮助了你 更加掌握如何平移或形变抛物线的图像。