抛物线变换导论

我在这里画了一个最典型的抛物线， y = x^2。 接下来我想看看会发生什么（变化），或者说 我可以如何改变这个抛物线。 让我们想几个例子出来。 我们先来看一下这个抛物线的图像。 这是y等于x的平方。 我们现在来想一下，y - k = x^2 的图像。 这个图像长什么样呢？ 这边我们可以看到，当x = 0， x^2 = 0。 和这边黄色的抛物线一样。 也就是x^2等于y，或者说y等于x^2。 但我们现在看的函数里，x^2并不等于y。 这里它等于y - k。 所以当x = 0，再平方， 0^2 并不能给我们y。 0^2 给我们 y - k。 所以这里是y - k。 或者另一种思路是，这里是0。 如果0比y小k，那么不管k在图像上的哪里，y和k的位置一样。 所以说，图像上y在k的位置，也就是那里。 所以，至少这个坐标被改变了， y的值向上移动了k个单位。 事实上，其他所有的坐标也都有了同样的变化， 比如我们来看，当x在这里的时候， 在这个黄色抛物线上，如果你取x^2， 会得到这个坐标。 这个图明显比例不太准确， 但总之，如果你取x^2，你会得到这个坐标。 但对于这边的抛物线来说， 只取x^2还不能给我们y， x^2只给我们y - k。 所以y还要比这里高k个单位。 所以这里是y - k，y则比这里高k个单位。 所以y得在这个位置。 所以这个抛物线其实是把黄色抛物线向上移动k个单位 得到的结果。 所以当y - k = x^2的时候，其实就是把x^2 向上移动k个单位。 不管坐标在哪里，都向上移动k个单位。 这个移动距离是恒定的k个单位，这两个抛物线之间的 垂直距离。 我尽最大可能将这个（移动）画清楚。 这个垂直距离是恒定k个单位。 现在我们来想一下水平方向上的移动。 让我们想想，如果我不让y等于x^2， 我这次让y = x - h^2。 我们来想一下这个情况。 如果取0的平方，这是你会得到的y值。 你会得到y = 0。 我们在这里怎么得到y = 0呢？ 答案是，我们必须让这个这里的值等于0。 所以x - h必须等于0，或者说x必须等于h。 所以我们可以说这里的x坐标是h。 所以x必须等于h。 所以一种思路是， 不管之前你取了哪个值的平方来得到y， 你现在需要取比之前的值 多h个单位的平方。 因为你要在这里减去h。 如果想得到0，x必须等于h。 在这里的话，如果你想得到1的平方，x必须等于1。 为了帮助我们更好地理解推导过程， 我们就让这里的x坐标等于1。 然后这里是1的平方，虽然图的比例画得不是特别精确。 所以这里的值也是1。 现在如果我们想要1的平方，我们不能只让x等于1， 我们得让x等于h + 1。 x必须得比1再多h个单位。 x必须得比1再多h个单位，才能得到和之前一样的坐标。 所以你可以看到，最终的影响是， y这次不等于x的平方本身了，而是等于x-h的平方， 这等同于把抛物线向右移动。 所以这个抛物线（让我用紫色画这个，用这个紫红色） 会是这个样子。 我们把原来的抛物线向右移动， 向右移动了h个单位。 现在我们再来想一个新的构想。 我们设想一下，想一下图像的变化， 如果我们让y等于负x的平方。 所以现在不管x的平方是多少， 我们取它的负值。 所以这里不管x值是多少，我们平方它之后， 都会得到一个正数。 而现在因为我们在平方前面乘了一个负1， 我们就会一直得到一个负数。 所以图像会长这样。 它是y = x^2图像与x轴对称 的镜面图像。 所以它的图像长这样。 我们就可以得到y等于负x的平方。 现在我们还可以想想怎么还能进一步变化这个图像。 比如y = -2x^2会是什么样呢？ 事实上让我来分两个步骤来做这个变化。 首先y = 2x^2长什么样子呢？ 我们暂且先考虑坐标都为正时候的情况， 也就是y = 2x^2。 当我们取任何x的平方的时候， 我们都把结果乘2。 所以这个图像的y坐标将会增长得更快。 所以图像差不多是这个样子， 会更窄更陡。 所以就差不多是这样。 再次解释一下，我就是画个差不多的图用来帮助理解， 图像比例可能没那么精确。 所以说给式子前面加一个系数会让y坐标增长更快。 现在如果我们来考虑y = -2x^2的话呢， 其实它就是一个在反方向负增长更快的图像。 差不多长这样， 也是一个和我刚画的图对称的图像。 差不多是一个长这样的更窄的抛物线。 同样的——我知道现在这个图像有点儿乱—— 但我就想提醒一下我们 我们是从y = x^2开始进行变化的， 也就是这边这个图像。 那如果我们让y = 1/2 x^2的呢？ 我快没有多余的颜色可以用了。 如果我们说y = 1/2 x^2， 那么y坐标就会增长得更缓慢。 图像的大体形状还是一样，但会变得更宽。 因为它的纵坐标增长更慢。 也就是差不多会长这个样子。 所以希望这些函数的图像能帮助你稍微理解一下 我们可以如何改变抛物线的图像。 现在如果我举个例子，如果——我说一声我现在图像画的并不精确， 因为只是用图像来帮助大家大概具象化 我们在做的事情。 如果这里是y = x^2的话， 这个图像是y = x^2的图像的话， 让我换个新的颜色， 那么y - k = A(x - h)^2 的图像 差不多就长这样。 现在顶点坐标不再等于(0, 0)了， 顶点，也就是最低的这个点，或者 你也可以说最小或最大值的点， 也就是这个抛物线的极点， 在这里的坐标，一个开口向下抛物线的最大值， 或者一个开口向上抛物线的最小值， 这个顶点会被平移。 它会向右平移h个单位, 向上平移k个单位。 所以顶点最终会在这里。 x前面的系数是A，所以如果A = 1的话， 图像的宽窄不会变化。 所以开口大小和之前一样， 所以差不多是这个图像。 如果A大于1的话，图像会更陡，就像这样。 如果A大于0小于1， 抛物线就会有一个更宽的开口，差不多这样。 事实上，如果A = 0，那么我们将会得到一条直线。 如果A是负数但比-1少， 图像也会有很宽的开口。 我其实应该说, A比-1大， 也就是如果在0和-1之间的话， 它就会有一个很宽的开口。 如果A = -1，我们会得到和原本抛物线 对称的图像。 如果A小于-1的话， 也就是一个绝对值更大的负数，那么 我们会得到一个更陡的图像， 就像这样。 希望这个视频帮助了你 更加掌握如何平移或形变抛物线的图像。