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主要内容
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二次方程文字应用题(顶点式)

视频字幕

-【萨尔】一个物体从平台上发射。 其发射 x 秒后的高度以米衡量, 由这个式子表示:x 变量的 h 函数等于 -5 乘以 x - 4 的平方再加上 180。 通常谈到秒或时间变量, 多数由字母 t 来表示,这里我们 暂且用 x 变量来代表。 我们来思考一下这件事。 我们先让这个过程直观一些。 我画 h 轴代表高度。 我们再画 x 轴 代表时间。 先看 x 等于 0 时的情形。 这时物体在平台上,我们 可以计算平台的高度。 这一刻 x 等于 0。 我习惯说时间 t 等于 0, 现在是时间变量 x 等于 0 时, 在平台上 有个高度。 我们要把这个物体抛出。 这个高度函数的图像是一条抛物线, 而且它的开口朝下。 会有人问,怎么知道这个函数图 是一条开口朝下的抛物线? 函数图看起来象这样。 是个大概示意图。 希望能帮助你理解。 我断定它是抛物线 而且开口朝下,是源于 题目里给的信息。 这个二次式是写成极值形式。 极值形式的二次式 有个平方项,前面 还要乘以 -5。 这前面的负系数决定了该抛物线是向下开口。 如果把第一项展开, x - 4 的平方就等于 x 的平方 加上其它项,然后 这些项全部乘以 -5, 其乘方次数最高的项 就是 -5 乘以 x 的平方。 这就是为什么该函数图是朝下开口的抛物线, 如示意图所示。 我们知道该图的大致特征, 再来探索其具体数值。 我想解的第一个问题是 这个平台的高度是多少。 这个平台到底 有多高? 我建议你暂停这个视频, 试着解答这个问题。 函数图和 y 轴的交点坐标是什么? 你一看就知道,这个一点 的 x 坐标等于 0。 因此要知道发射平台到底有多高, 就是要计算当 x 取值 0 时 h 函数的值。 这个函数值就是 -5 乘以 -4 的平方再加上 180。 就是把 x 值以 0 代入。 -4 的平方等于 16。 -5 乘以 16 等于 -80。 再加上 180。 所以这个 h 函数当 x 取值 0 时等于 100。 因此这个平台高度是 100 米。 记住这个高度单位是米。 现在下一个问题是,发射后经过 多少秒到达最高点? 这个最高点在我们 的开口朝下的抛物线上, 应该在极值点处达到最高。 所以那一点的 x 坐标就告诉 我们发射后经过多少时间 该物体能达到最高点。 我要在这里标注一下。 这一点的 x 值是多少? 再次建议你暂停该视频, 试着把答案找出。 我们要回答的 问题是发射该 物体和过多久 能到达最高点。 答案就是我们的极值点的 x 坐标。 如何找到这个 x 坐标呢? 这个二次式已经写成 极值形式,找出极值点 的坐标应该很容易。 我们来仔细看看 该表达式的结构。 看看它如何和极值点关联。 这里有个常数 180。 前面还有一项。 任何平方项都不可能是负数。 所以 x - 4 的平方总不可能是负数。 然后你得把它乘以 -5, 因此这一整项就不可能是正数。 所以整个函数不可能超过 180。 只有这个第一项等于 0 时才能达到最大值。 什么时候这一项变成最大值? 这一项等于 0, 就是 x - 4 等于 0。 而 x - 4 等于 0 的唯一条件 就是 x 等于 4。 只要看一看这个式子,猜一下: “x 等于多少才能使这项等于 0?” 当然是 4。 x 等于 4 能使它等于 0。 这个点的 x 坐标就是 4。 如果要算 x 取值 4 时 h 函数 是多少,这一项等于 0, 整个函数等于 180。 这就是 极值点的纵坐标。 最高的高度等于 180。 发射后经过 4 秒该物体达到最高点。 现在要问最后一个问题, 发射后经过多久高度变成 0? 就是问 x 取值多少该物体的高度为 0? 为了解答这个问题,我们需要解方程 x 变量的 h 函数等于 0。 具体就是 -5 乘以 x - 4 平方加上 180 等于 0。 我再次建议你暂停本视频, 试着自己解答这个问题。 可以先从方程两边减去 180。 结果是-5 乘以 x - 4 平方, 等于 -180。 然后在方程两边除以 -5。 我们得到 x - 4 的平方等于 36。 再往下一点。 然后,可以 在方程两边 开平方。 这样可能有两个结果,其中一个 是 x - 4 等于 6。 另一个可能的结论是 x - 4 等于 -6。 第一种情况下,在方程两边加上 4, 得到 x 等于 10。 在第二种情况下,在方程两边加上 4, 得到 x 等于 -2。 x 的定义是 物体发射后 经过的时间, 如果是负数 就没有意义。 所以我们应该排除 -2。 只有正值才符合题意。 那就是 x 等于 10。 物体发射后经过 10 秒钟, 它的高度就会等于 0。 如果地面的高度是 0,就是 说地面和海平面一样高,那么 那就是我们的抛物体着地的时间。