二次方程文字应用题（顶点式）

－【萨尔】一个物体从平台上发射。 其发射 x 秒后的高度以米衡量， 由这个式子表示：x 变量的 h 函数等于 －5 乘以 x － 4 的平方再加上 180。 通常谈到秒或时间变量， 多数由字母 t 来表示，这里我们 暂且用 x 变量来代表。 我们来思考一下这件事。 我们先让这个过程直观一些。 我画 h 轴代表高度。 我们再画 x 轴 代表时间。 先看 x 等于 0 时的情形。 这时物体在平台上，我们 可以计算平台的高度。 这一刻 x 等于 0。 我习惯说时间 t 等于 0， 现在是时间变量 x 等于 0 时， 在平台上 有个高度。 我们要把这个物体抛出。 这个高度函数的图像是一条抛物线, 而且它的开口朝下。 会有人问，怎么知道这个函数图 是一条开口朝下的抛物线？ 函数图看起来象这样。 是个大概示意图。 希望能帮助你理解。 我断定它是抛物线 而且开口朝下，是源于 题目里给的信息。 这个二次式是写成极值形式。 极值形式的二次式 有个平方项，前面 还要乘以 －5。 这前面的负系数决定了该抛物线是向下开口。 如果把第一项展开， x － 4 的平方就等于 x 的平方 加上其它项，然后 这些项全部乘以 －5， 其乘方次数最高的项 就是 －5 乘以 x 的平方。 这就是为什么该函数图是朝下开口的抛物线， 如示意图所示。 我们知道该图的大致特征， 再来探索其具体数值。 我想解的第一个问题是 这个平台的高度是多少。 这个平台到底 有多高？ 我建议你暂停这个视频， 试着解答这个问题。 函数图和 y 轴的交点坐标是什么？ 你一看就知道，这个一点 的 x 坐标等于 0。 因此要知道发射平台到底有多高， 就是要计算当 x 取值 0 时 h 函数的值。 这个函数值就是 －5 乘以 －4 的平方再加上 180。 就是把 x 值以 0 代入。 －4 的平方等于 16。 －5 乘以 16 等于 －80。 再加上 180。 所以这个 h 函数当 x 取值 0 时等于 100。 因此这个平台高度是 100 米。 记住这个高度单位是米。 现在下一个问题是，发射后经过 多少秒到达最高点？ 这个最高点在我们 的开口朝下的抛物线上， 应该在极值点处达到最高。 所以那一点的 x 坐标就告诉 我们发射后经过多少时间 该物体能达到最高点。 我要在这里标注一下。 这一点的 x 值是多少？ 再次建议你暂停该视频， 试着把答案找出。 我们要回答的 问题是发射该 物体和过多久 能到达最高点。 答案就是我们的极值点的 x 坐标。 如何找到这个 x 坐标呢？ 这个二次式已经写成 极值形式，找出极值点 的坐标应该很容易。 我们来仔细看看 该表达式的结构。 看看它如何和极值点关联。 这里有个常数 180。 前面还有一项。 任何平方项都不可能是负数。 所以 x － 4 的平方总不可能是负数。 然后你得把它乘以 －5， 因此这一整项就不可能是正数。 所以整个函数不可能超过 180。 只有这个第一项等于 0 时才能达到最大值。 什么时候这一项变成最大值？ 这一项等于 0， 就是 x － 4 等于 0。 而 x － 4 等于 0 的唯一条件 就是 x 等于 4。 只要看一看这个式子，猜一下： “x 等于多少才能使这项等于 0？” 当然是 4。 x 等于 4 能使它等于 0。 这个点的 x 坐标就是 4。 如果要算 x 取值 4 时 h 函数 是多少，这一项等于 0， 整个函数等于 180。 这就是 极值点的纵坐标。 最高的高度等于 180。 发射后经过 4 秒该物体达到最高点。 现在要问最后一个问题， 发射后经过多久高度变成 0？ 就是问 x 取值多少该物体的高度为 0？ 为了解答这个问题，我们需要解方程 x 变量的 h 函数等于 0。 具体就是 －5 乘以 x － 4 平方加上 180 等于 0。 我再次建议你暂停本视频， 试着自己解答这个问题。 可以先从方程两边减去 180。 结果是－5 乘以 x － 4 平方， 等于 －180。 然后在方程两边除以 －5。 我们得到 x － 4 的平方等于 36。 再往下一点。 然后，可以 在方程两边 开平方。 这样可能有两个结果，其中一个 是 x － 4 等于 6。 另一个可能的结论是 x － 4 等于 －6。 第一种情况下，在方程两边加上 4， 得到 x 等于 10。 在第二种情况下，在方程两边加上 4， 得到 x 等于 －2。 x 的定义是 物体发射后 经过的时间， 如果是负数 就没有意义。 所以我们应该排除 －2。 只有正值才符合题意。 那就是 x 等于 10。 物体发射后经过 10 秒钟， 它的高度就会等于 0。 如果地面的高度是 0，就是 说地面和海平面一样高，那么 那就是我们的抛物体着地的时间。