有理数和无理数简介

我们来简单地讲一下有理数。 有理数可以简单地理解为 任何能表示成两个整数之比的数。 例如，任何整数都是有理数。 1可以表示成1/1，-2/-2， 或者10000/10000。 这些都是1这个数的不同表示， 两个整数之比。 显然，我可以有 无数种方法来表示1 两个相同之数的比。 -7可以表示成-7/1， 或者7/（-1），或者-14/2。 我可以不断地列举下去。 所以-7肯定是有理数。 它可以表示成两个整数之比。 那么非整数呢？ 例如，嗯，3.75。 怎么把它表示成两个整数之比呢？ 3.75，可以写成 375/100，也可以是750/2。 或者3又3/4。 所以可以写成 15/4。 三四十二，加3得15。 跟15/4是一回事。 或者也可以写成-30/（-8）。 上下两边 同时乘以-2。 所以显然是有理数。 我给了几个 能够表示称两个整数之比的例子。 那么循环小数呢？ 举个可能是最有名的循环小数 为例 我们有0.333……无限循环 可以表示为3上加一根小横杠。 0.3循环。 以后我们会讲 怎么把任意无限循环小数 表示成两个整数的比。这里显然等于1/3。 你可能也见过0.6循环是2/3。 还有很多很多这样的例子。 将来我们会讲，任何循环小数， 不只是1位循环的小数， 即使是一百万位数循环， 只要是重复循环的小数， 只要是重复循环的小数， 就总能表示成两个整数之比。 我知道你大概在想什么。 你已经涵盖了很多数。 涵盖了所有的整数， 涵盖了有限小数， 又包含了无限循环小数。 还剩什么？ 还有不是有理数的数吗？ 你大概在猜是有的。 否则也不用这么麻烦， 还给它起个名字叫有理数。 实际上，你应该能想象， 数学中最有名的一些数 不是有理数。 我们称它们为无理数。 这里我就列举几个 最最有名的例子。 Pi，圆的周长与直径之比， 是个无理数。 它是无限的， 天长地久无绝期，而且不循环。 e 也一样，无限不循环。 它出自连续复利计算。 出自复分析。 e到处都有应用。 根号2，无理数。 Phi，黄金分割比例，无理数。 这些都是来自于自然的数， 有很多都是无理数。 你可能会说，这些都是无理数吗？ 都是一些特别的数。 所以，也许大部分数都是有理数， 我只是挑了一些特别的数放在这里。 但是注意，这些数确实特别， 因为它们各自的意义。 但无理数并不少见。 事实上， 两个有理数之间，总是存在一个无理数。 我们可以不断推演。 实际上有无穷多个无理数。 但至少有一个。这告诉你 并不能说 无理数比有理数少。 在接下来的视频中， 我们将证明，给定两个有理数，有理数1和有理数2， 他们之间至少存在一个无理数。 这是个很漂亮的结论， 因为无理数似乎看上去特别而少见。 还有一种思考的方法：我举了根号2的例子。 实际上，任何一个非完全平方数， 开根号之后都是无理数。 有理数与无理数之和 将来我们会学到， 我们会自己去证明， 有理数与无理数之和 是无理数。 有理数与无理数之积 也是无理数。 所以，无理数有很多很多。