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主要内容

证明:√2是无理数

小萨证明了 2 的平方根是一个无理数,即其不能表示为两个整数的比。 Sal Khan 创建

视频字幕

在本期视频中我要向你证明的是 根号2是一个无理数。 我会用矛盾法来证明这个结论。 矛盾法的证明是从 假设一个反命题成立为开端的。 所以这是我们的目标,但我们为了要证明它, 我们要假设它的反命题成立。 让我们来假设根号2是有理数。 然后我们来看它是否得出相反的结论, 也就是说其实这个结论不成立。 如果它是有理数的情况不成立, 如果我们从假设根号2是有理数的情况下 得到矛盾的结论,那么我们就能证明根号2 肯定是无理数。 所以让我们先来假设这个反命题。 根号2是有理数。 那么,如果根号2是有理数, 就意味着我们可以将根号2 写作是两个整数的比,a和b。 我们同样可以假设这俩 没有公约数。 假设它们的确有公约数。 如果我们将分子和分母 都除以同一个约数,然后就可以得到 没有公约数的两个数了。 或者另一种说法是a和b互质。 还有另一种说法是 可以将它写成是两个 不可约的整数比,也就意味着它们没有任何 公约数了。 如果你可以将任何数字都写成是两个整数的比, 然后很显然你可以进一步将它简化, 将所有公约数都去掉直到 不可约的状态。 那么我就要假设a和b, 这里这个分数,是不可约的。 这对于我们的矛盾法是很重要的设置。 所以我要假设这个是不可约的。 a和b没有公约数。 我来把这个写下来因为 这点对于这次证明很重要。 a和 - 我想用相同的颜色 - a和b没有公约数,除了1。 因此这是不可约的了。 这两个数互质。 这对我们有什么用呢? 那么,我们再来将它变形一下。 我们将等式两边同时进行平方。 所以将2的算术平方根进行平方, 就得到2。 这就等于a的平方除以b的平方。 这其实就是由a/b整体的平方 等同于a的平方除以b的平方而得到。 现在我们将这两边都乘以b的平方。 然后就得到2乘以b的平方等于a的平方。 现在,我们可以得到关于a平方的什么信息呢? 那么,a的平方就是等于一个数吧,b的平方乘以2。 所以什么数字乘以2会等于一个整数。 我们假设了b是一个整数,所以b的平方肯定是一个整数, 然后一个整数乘以2。 那么,就肯定是一个偶数。 就肯定得到一个偶数的整数。 那么这里,a的平方, 这就意味着a的平方肯定是一个偶数。 现在,为什么这里变得有趣了呢? 那么,a的平方是两个数的乘积 或者说是两个相同的数的乘积。 也就是a乘以a。 所以这是另一种方式来表示a乘以a是一个偶数。 那么这告诉我们关于a的什么信息呢? 我们要提醒自己。 a要么就是 -- 我们假设了 a是一个整数 -- a要么是偶数要么是奇数。 我们只需要提醒自己如果我们将 一个偶数乘以另一个偶数,就得到另一个偶数。 如果我们将奇数乘以一个奇数,还是得到一个奇数。 所以这里一个数乘以它本身。 得到了一个偶数。 那么,唯一的可能性就是这个数是一个偶数。 因此我们得到了a为偶数的信息。 然后另一种方式来说明a为偶数 是因为a可以表示为 2乘以其他任意整数的积。 所以假设这个任意整数为k。 那么然后呢? 那么,你可以看到,我们可以利用 这个信息来证明b肯定也是一个偶数。 所以让我们来思考一下。 让我们回到这一步。 如果我们假设a可以用 2乘以某个整数的积来表示, 那么事实就是a为偶数。 然后我们可以将这个表达式 写作是2 -- 在这里写 -- 2乘以 b的平方就等于2k的平方。 以此代替a的平方,我可以写2k的平方。 我们声称,或者说我们得到的结论是, 就是,假设所有这些都是我们的假设,a是偶数。 所以如果a是偶数,它就可以用 2乘以某个整数的积来表示。 然后我们就可以写成2乘以b的平方 等于4k的平方。 然后你将两边都除以2。 就得到b的平方等于2k的平方。 这就意味着,那么,k的平方 就等于某个整数。 你取某个整数乘以2就 会得到一个偶数的值。 所以这告诉我们b的平方是偶数。 所以就告诉我们b的平方是偶数。 那么,如果b的平方是偶数,通过我们刚才的逻辑, 意味着b是偶数。 所以这就矛盾了。 我们假设,在一开始的时候,a和b 没有除了1以外的公约数。 我们假设这个分数,a/b, 是不可约的。 但从这里看以及a/b 必须等于2的平方根的事实, 我们得出的结论是a是偶数且b也是偶数。 那么,如果a是偶数且b是偶数, 它们肯定拥有公约数2, 然后这就不再是不可约的了。 你可以将分子和分母都除以2。 a和b都拥有公约数2。 所以让我写下来。 这样就更清楚了。 从这到这,我们得到的结论是a和b拥有公约数2, 也就意味着a/b是可约的。 这就是矛盾所在。 所以你假设2的平方根 可以写作不可约分数a/b, 不可约是因为你说这是两个整数 的比,就导致了这个矛盾, 不,这其实是可约的。 所以,因此,你不能做这样的假设。 它会导致矛盾。 2的平方根就肯定是无理数。