证明素数的平方根是无理数

在上个视频中，我们使用反证法 证明了根号 2 是无理数。 在这个视频中，我们通过 思路相同但更具一般性的方法 来证明任意质数的平方根都是无理数。 我们假设 p 为质数。 我们要使用反证法来证明。 所以我们先假设 p 的平方根是有理数， 然后我们看看是否能推出矛盾。 如果这是有理数， 那么意味着我们可以将它表示成两个整数的比。 我们还可以进一步的将它 我们还可以进一步的将它 表示为两个互质的整数之比， 表示为两个互质的整数之比， 也就是说这两个整数没有公约数。 再换种说法就是，我们可以将它表示为最简分数（不能再约分的分数）。 再换种说法就是，我们可以将它表示为最简分数（不能再约分的分数）。 那么，我们设这个分数 就是我正在写的这个分数， a/b，是最简分数。 你会问，我们如何能做到这一点呢？ 我们可以说，因为 ｐ 的平方根是有理数， 我们就能把它表示成一个分数，就是两个整数的比，对吧？ 既然是分数，那我就可以约分， 可以不断的除以分子分母的公因数， 直到分子分母没有公因数为止， 我们就得到了最简分数。 我们就设这个最终得到的最简分数 就是 a/b，这个分数不能再约分了。 这对我们的证明过程非常重要——不能再被约分， 也就是说，a 和 b 是互质的两个数， 再换一种说法就是，a 和 b 除了 1 之外没有其他公因数。 再换一种说法就是，a 和 b 除了 1 之外没有其他公因数。 现在我们来做一些变形， 两边同时平方。 左边就是 p，右边是 a/b 的整体的平方， 也就是 b 平方分之 a 平方。 再把两边都乘以 b 平方， 我们得到了 b 平方乘以 p 等于 a 平方。 我们从这个 a 平方中能看出什么呢？ 这里的 b 是一个整数，那么 b 平方也是一个整数。 一个整数乘以 p 等于 a 平方。 这意味着 p 一定是 a 平方的一个因数。 我们把它写下来。 那么，a 平方一定是 p 的倍数。 那么，对于 a 我们知道什么呢？ 这是否说明，a 也是 p 的倍数呢？ 好，我们先考虑 a 的质因数分解。 好，我们先考虑 a 的质因数分解。 a 可以写为——任何数都可以—— 可以写为若干质数的乘积。 应该是任何整数。 那么我们把它写作若干质数 的乘积。 这是第一个质因数乘以 第二个质因数，一直乘到第 n 个质因数。 我不知道 a 到底有多少个质因数。 我只是说 a 是某个整数。 这是 a 的质因数分解。 那么 a 平方的质因数分解会是什么样？ a 平方就是 a 乘以 a。 所以 a 平方的质因数分解就是 f1 乘以 f2， 一直乘到 fn，然后 再乘以 f1 乘以 f2，再一直乘到 fn。 我重新变一下顺序， 变成 f1 乘以 f1 乘以 f2 乘以 f2，一直乘到 fn 乘以 fn。 我们已知 a 平方是 p 的倍数， 而 p 是质数，因此 p 一定是 这些质因数的其中一个。 p 有可能是 f2，有可能是 f1，不管是什么， p 一定是这些质因数其中一个。 p 是这些质因数其中的一个， 那么，我先随便挑一个好了。 那么，我先随便挑一个好了。 比如 p 是 f2。 如果 p 是 f2，那么意味着 p 就是 a 的一个因数。 所以 a 是 p 的倍数。 换句话说，我们可以将 a 表示成某个整数乘以 p。 这样有什么好处呢？ 实际上——等下，我先把这部分圈起来， 等会要用到这个结论。 那这个有什么用呢？ 就像我们在证明根号 2 是无理数 中的过程一样，我们把这个 代回到原来的方程中。 左边还是 b 平方乘以 p， b 平方乘以 p 等于 a 平方。 现在我们说 a 可以被替换成 k 乘以 p。 然后我们把 a 换成 k 乘以 p。 然后，我们把平方分配进去， 得到：b 平方乘以 p——你可能已经看出来 后面该怎么做了——等于 k 平方 乘以 p 平方。 我们把两边同时除以 p， 我们得到 b 平方等于 p 乘以 k 平方。 也就是 k 平方乘以 p。 然后我们用完全一样的讨论方法， 如果 a 平方等于 b 平方乘以 p， 那么 a 平方是 p 的倍数。 我们现在面临的是同样的情况。 b 平方等于某个整数平方——还是整数——乘以 p。 b 平方等于某个整数平方——还是整数——乘以 p。 所以 b 平方是 p 的倍数， 所以 b 平方是 p 的倍数， 那么根据刚才我们的推理， 我们同样能够得到结论：b 也是 p 的倍数。 我们同样能够得到结论：b 也是 p 的倍数。 这就有矛盾了， 这与我们最初的假设是矛盾的。 我们假设 a 和 b 互质， 它们除了 1 以外没有其他的公因数。 我们假设这个分数不能再约分。 但是我们刚刚推导出： a 是 p 的倍数，而 b 也是 p 的倍数。 这就说明这个分数是可以再约分的， 我们可以把它的分子分母都除以 p 啊。 所以这就矛盾了。 我们先假设它不能约分， 但我们推导出它一定能约分。 分子和分母有公因数 p。 分子和分母有公因数 p。 我们推导出了矛盾。 因此 p 的平方根不可能是有理数。 根号 p 是无理数。 我写下来， 根据我们使用反证法的证明，根号 p 是无理数。 根据我们使用反证法的证明，根号 p 是无理数。