If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

证明:任何两个有理数之间有一个无理数

小萨证明了已知任何两个有理数,无论相差有多小,我们都能在中间找到一个无理数。 Sal Khan 创建

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.

视频字幕

在这个视频中,我要证明在任何两个有理数之间—— ——这是一个有理数,在这, 这是另一个有理数, 后一个数比前一个大 ——任意两个有理数之间, 一定存在一个无理数。 数轴上的这个数是一个无理数。 你至少能找到一个无理数,在这两个有理数之间。 听起来是不是很神奇? 有理数可是很多很多的, 有理数有无限多。 因此我们说,在任意两个有理数之间, 一定能找到一个无理数。 我们首先考虑一下, 区间是 0 到 1 之间的情况。 我们考虑 0 到 1 区间的情况, 这里面我们知道是有无理数的。 实际上,有一个无理数马上就会跳入你的脑子里, 就是根号 2 分之 1, 也就是等于 2 分之 根号 2, 这个等于——不,不是等于, 是约等于 0.70710678118...... 我可以不断的写下去, 永远持续下去。 而且不会循环。 但重点是,这显然在 0 到 1 之间。 所以我可以说根号 2 分之 1 显然是在 0 到 1 之间的。 我想到一个办法来证明 任意两个有理数之间都存在无理数, 就是我从这个不等式出发, 然后最终构造成 r1 到 r2 的区间。 然后我们从根号 2 分之 1, 构造出符合条件的无理数, ——在这两个有理数之间, 至少构造出一个无理数。 现在的区间是 0 到 1, 我们来让它变成从 0 到 这两数之差的区间。 从 r2 到 r1 的距离是 r2 减 r1。 我们在两边同时乘以—— 或者说,在不等式的三边, 都乘以, r2 减 r1 的差。 我们来乘。 0 乘以 r2 减 r1 乘完还是 0, 小于——我们知道 r2 是大于 r1 的, 所以 r2 减去——我来写的清楚些。 我们要把三部分同时乘以 r2 减 r1 的差。 根据我们之前假设,r2 大于 r1, 所以这部分应该是大于 0 的。 如果在不等式的两边同时乘以 一个大于 0 的数, 不等式的方向不变。 0 乘以任何数都是 0,根号 2 分之 1 乘以 这是根号 2 分之 1 乘以 r2 减去 r1 的差。 然后这是小于—— 1 乘以 r2 减 r1 的差。 现在,我们再来做最后的调整。 我们把三部分都加上 r1, 把不等式的三部分都加上 r1 的话, 不等式的方向还是不会变。 我们在这里加上 r1。 这里也加上 r1。 这里也加上一个 r1。 这样的话,左边我们有 r1 小于 r1 加上——我来复制粘贴一下, 把这部分都复制,这样我就不用总是换颜色了, 哎,错了,这不对 这是对的。 好了。 好了。 这真不错。 复制和粘贴,太好用了。 r1 加上这部分,我来把加号写上。 加上这部分,它小于—— 用一个不同的蓝色——它小于 r1 加上 r2 减 r1 等于多少? 就等于 r2 啊。 这样,你给我任意两个有理数 然后我假设 r2 大于 r1, 然后我构造了一个无理数, 这个无理数正好位于 r1 和 r2 之间。 你用 r1,就是较小的这个有理数, 然后加上根号 2 分之 1 乘以这两个有理数的差, 然后你就得到 这个符合要求的无理数了。 你也许会说:“我怎么知道这个数—— 我怎么确定这个数是无理数?” 好,我们来看 无理数乘以有理数, 答案还是无理数。 无理数加上有理数, 答案还是无理数。 因此我们构造了一个位于给定的两个有理数 之间的无理数。