幂的乘积和商 (整数指数)

－【教师】做几道例题， 有关乘方及不同次幕 乘方的积，特别是有关 指数为整数的情形。 3 的 －8 次方 乘以 7 的 3 次方， 它们的积的 －2 次方， 我希望你暂停这个视频， 试着独立完成该式子的化简。 首先要了解， 这个问题有几种方法可以解决， 关键的可用规则 是如果要计算两个数 的积的乘方， 其结果等同于 先算各个因数的乘方， 然后再算它们的积。 所以上面的式子就等于 3 的 －8 次方的 结果的 －2 次方， 乘以 7 的 3 次方的结果的 －2 次方， 因此第二括号里是7 的 3 次方。 再继续化简， 3 的 －8 次方的结果的 －2 次方， 可用的另一指数运算规则是， 如果计算某指数次方 再算其结果的另一指数次方， 可以把两个指数相乘。 所以第一项就等于 3 的 －8 乘以 －2 次方。 －8 乘以 －2 等于正 16。 因此第一项就等于 3 的 16 次方, 第二项这里， 7 的 3 次方的结果的 －2 次方, 就是 7 的 3 乘以－2 次方, 结果是 7 的 －6 次方。 因此这部分是 7 的 －6 次方, 最多你只能化简到这一步了。 你可以把它写成不同的形式。 7 的 －6 次方就是 1 除以 7 的 6 次方， 因此你可以把结果全部用正的指数来表示。 我们用不同颜色表示这两部分， 分子是 3 的 16 次方， 分母是 7 的 6 次方， 和上面写法等同, 还有其它方法可以处理这个问题。 其中一个方法是 对于原来的题目， 可以看成是， 3 的 －8 次方就 等于 1 除以 3 的 8 次方， 所以可以说这等同于 7 的 3 次方 除以 3 的 8 次方， 然后整个分数的 －2 次方， 这样就是分子部分的 －2 次方 除以分母的 －2 次方， 结果和开头我们用的方法一样。 再举一个例子。 比如有 a 的 －2 次方乘以 8 的 7 次方，要 计算这个积的平方。 类似于前例，可以先计算 每一个因式的平方， 因此原式等于 a 的 －2 次方的平方 乘以第二个因式的平方。 第二个因式的平方即 8 的 7 次方的平方， 再回第一因式，－2 乘以 2 得 －4， 就是 a的 －4 次方， 第二因式 7 乘以 2 得 14， 即 8 的 14 次方。 在其它的视频里，我们会讲得 更深些以帮助理解。 这里 8 的 7 次方 乘以 8 的 7 次方。 这样你就把两个指数相加， 也得到 8 的 14 次方, 无论有几个 8 的 7次方相乘， 你可以用指数相加法， 或者以 7 乘以该因式的个数。 希望能够帮助理解， 总的来说如果算某数的指数甲次幕， 再把结果拿来算指数乙次幕， 就可以把甲乙指数相乘。 再举一个例子， 是有关商的， 现在谈到的方法前面 第一个例子也适用。 现有 2 的 －10 次方 除以 4 平方， 再算这个商 的 7 次方。 这就等于 2 的 －10 次方的 7 次方， 除以 4 的平方的 7 次方， 就是说如果 一个分式的乘方， 就等于其分子 的乘方除以 其分母的乘方。 结果分子是多少？ 这样的练习我们做过。 它等于 2 的 －10 乘以 7 次方， 也就是 2 的 －70 次方， 再看分母部分， 是 4 的平方 结果的 7 次方。 2 乘以 7 等于 14， 因此就等于 4 的 14 次方。 现在我们实际上可以 考虑做进一步的化简。 有很多方法， 其中一个是考虑 ” 4 是 2 的乘方“。 因此把这个式子 写成分子为 2 的 －70 次方， 分母由 4 的 14 次方， 改写为 2 的乘方。 原来分母是 4 的 14 次方， 下面我要换底为 2。 我要把分子和分母 用不同颜色来写， 分子分母部分都用原来的颜色。 分子部分依然是 2 的 －70 次方， 分母部分把 4 表示为 2 的平方，这样 就是 2 的平方的 14 次方。 4 就等于 2 的平方， 这样整个分式改写成， 分子依然是 2 的 －70 次方， 分母成为 2 的平方的结果 再算其 14 次方， 就是 2 的 28 次方， 分母就是 2 的 28 次方。 是否能进一步化简？ 这个式子结果应该 是 2 为底的乘方， 同样的底的两个乘方相除， 指数应该相减。 分子的指数为 －70。 结果指数应该等于 －70 减去 28， 最后结果是 2 的 －98 次方, 这算是另一个思路。