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主要内容

简化平方根式表达式

以平方根的表达的例子,并采取所有的完美平方的平方根。例如,2√ (7 x) ⋅3√ (14x²) 可以写为 42x√ (2 x)。

视频字幕

我们来做一些练习 简化包含变量的根式表达式 来看这道题 2乘以 7x的平方根 乘以3 乘以14x的平方的平方根 暂停一下视频看看您怎么解 找出所有的完全平方数相乘起来 再把任何的完全平方数 从根号里移出 我们先来 做乘法 所以 我先来交换乘法的顺序 其实是一回事 因为2乘以3 乘以7x的平方根 乘以14x的平方的 平方根 就等于 6乘以 2个根号的乘积 您可以看成平方根之间的乘积 所以6乘以这个平方根 我要做的 实际上我先把这个就写成这样 7 乘以 x 然后 让我来把14分解 14就是2 乘以7 乘以 x的平方 实际上让我来 将我的根号扩展一下 我为什么没有将其相乘出来 是因为显然在我脑子里不能将其相乘 x乘以x的平方是x的立方 我们已经说过 7 乘以14 等于98 我们可以这么做 但是当您想分解出因子 找出完全平方数的时候,实际上 写成因子分解的形式更容易 特别是 从一个多变的角度看 您已经可以把它看成是一个完全平方数 然后呢 14不是一个完全平方数 7不是一个完全平方数 但是7乘以7是 7乘以7就是一个完全平方数 也就是49 所以我们来把它重写一下 看看我们能做什么 这将会是6 乘以 然后 我可以这么写 平方根 先把所有完全平方数放在一起 7乘以7 等于 49 这是2个完全平方 x的平方 49 x的平方 然后 我可以 再次分离这里的2个根号 所以还剩什么呢 所以 我已经用到这个7,还有这个7,x的平方 剩下2x 乘以2x 希望您可以看出这2个 是相等的 我可以用一个大根号 把49x的平方乘以2x都包括进去 也就是完全和这个一样 但是您把乘积之后开根 就是和开根后再相乘 完全是一样的 这是从我们的指数运算法则里面得来的 但是之所以这么做的重要性在于 这里我们看到6 乘以 现在 我可以把49x的平方 开根算出来 就等于7x 49的平方根是7 x的平方的平方根 是x 然后再来相乘 2x的平方根 乘以2x的平方根 我们快要做完了 6乘以7等于42,42x 乘以2x的平方根 这里最重要的是 我一直在强调 的是 乘积的开根 或者一组数的乘积开平方根 就是每个乘数开平方根再相乘 即使我这里做的这一步 如果您想的话,您还可以有一个中间步骤 您可以把49x的平方开平方根 看成是 49的平方根 乘以x的平方开平方根 我们就得到49的平方根是7 x的平方的平方根是x 就像这样 我们再来 做一道练习题 下面 的题目是 2a的平方根 乘以 14a的立方 的平方根 乘以5a的平方根 就像之前的课一样,请暂停这个视频 先看看您自己怎么解 用乘法找出所有的完全平方数 然后将其移出根号 先来做乘法 这就等同于 平方根下 2乘以14 乘以5 我先来这么做 我看到 2和5都是质数 14呢,我可以分解为 2乘以7 所以这里将会是 2乘以,我把14 写成2乘以7 然后再乘以5 然后我们有a乘以a的3次方 乘以a 我来重写为 a的5次方 我们有a的一次方,乘以a的三次方 再乘以a的一次方 那么乘积后为a的5次方 那么这里面有完全平方数吗 我们已经看到一个完全平方数 2乘以2 a的5次方不是一个完全平方数 如果您考虑这个变量a的话 但是您可以把这项看成a的4次方 乘以a 下面我们来重写一下 那么这个就等于 哪个数的 平方根呢 我先把完全平方数找出来 4的平方根,2乘以2 乘以a的4次方 然后我把非完全平方数写出 乘以 这是是7 这里是5 还有一个没有用到的a 所以7乘以5等于35 所以为35 a 就像我们之前所说的 我们可以 我来做吧 我们可以说 这和4的平方根 乘以a的4次方的平方根是一样的 还是用指数运算法则 然后再乘以35a的 平方根 4的主根是正2 您可以把这个看成正的平方根 a的四次方的平方根 其主根就是a的平方 我们再来乘以 35a 的平方根 我们就做完了 再来做一道练习 这次我们会遇到2个变量 但是您会看到 其实也没有那么复杂 我们来简化 72乘以 x的三次方 乘以z的三次方 的平方根 关键我们来找因子 72不是一个完全平方 但是它有没有含完全平方的因子呢 您其实立即可以知道 如果您来分解因子为36乘以2 36当然是一个完全平方数 同样的,x的3次方和z的三次方 并不是完全平方数 但是它们都有x的平方和z的平方在里面 我来重写 就等同于 就等于 我可以写成 我把所有完全平方数放在前面 我有36 36 我要把x的平方拿出来 x的平方,我还要把z的平方拿出来 z的平方 然后我们 剩下什么呢 我们把36拿出 所以剩下2乘以2 如果我们再把x的平方从这里移出 我们就只剩下x x的三次方除以x的平方等于x 2乘以x 然后z的三次方除以z的平方 就等于z 您可以验证一下 把这些都相乘 您就可以得到 和这里完全一样的结果 我这里在z上做了一条线是来区分 不会看起来像2个2 36乘以2是72 x的平方乘以x是x的三次方 z的平方乘以z是z的三次方 现在就很容易来分解因子 因为 我来做 我要多写一些步骤 您自己做的话可能步骤少些 但是这样做的目的 就是让您学 所以2 x z 这里就是用指数的运算法则 这里所有的都是完全平方数 那么就等于36的平方根 乘以x平方的平方根 乘以z平方的平方根 其结果分解为 36的主根 为6 x的平方的主根为x z的平方的主根为z 这些再来乘以 乘以 2x z 的平方根 然后 我们 就做完了