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主要内容

简化混合根和指数表达式

萨尔重写 (r ^ (2/3) s ^ 3) ^ 2 *√(20 r ^ 4 s ^ 5),一次作为一个指数表示,并且一次作为一个根本表示. Sal Khan蒙特雷科技大学 创建

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我们需要简化 r 的 2/3 次方乘 s 的 3 次方, 然后它们全部的 2 次方, 再乘以 20r的4次方乘以 s 的5次方的平方根。 这看起来挺可怕,但是我想 如果我们一步一步地做,不会太难。 首先,我们来看这个表达式的第一部分, 我们对这个乘积做2次方。 我们知道我们可以对乘积的每一项 进行乘方然后求它们的积。 所以它就成为 r 的2/3次方的平方 乘以 s 的3次方的平方。 现在我们来看这个有理式, 我们有平方根,但是这和 它的 1/2 次方完全相同。 这就等于--乘上这一项-- 让我用不同的颜色, 这一部分,和20相同, 我们不写 20 ,而把它写成 一个能够完全开方的数和一个不能完全开方的数的乘积, 20 就是 4乘5。 这是20这一部分。 乘以 r 的4次方乘以 s 的5次方。 现在我把 s 的 5 次方也写成一个 能够完全开方的量和一个不能完全开方的量的乘积。 很明显,r 的4次方可以完全开平方, 它的平方根是 r 的平方, 我们把 s 的 5 次方也这样来写, 所以 s 的5次方可以写成 s 的4次方乘以 s。 对吧? s 的4次方乘以 s 的1次方就是 s 的5次方。 当然,所有这些都要再求 1/2次方。 现在,我们进一步简化。 如果我们求一个量的 2/3 次方然后再求 2次方, 我们只需将指数相乘。 这一项,可以简化为 r 的 4/3 次方。 可以回顾一下,一个量的 4/3 次方, 你可以把它看作是 先求它的 立方根,即求它的 1/3 次方 然后再对这个立方根求 4 次方。 或者你也可以把它看作先求它的 4次方, 再求它的立方根。 这两种算法都是 求一个量的 4/3次方的合理算法。 现在,你有 r 的4/3次方乘以 s 的 3乘2 次方, 也就是乘以 s 的 6次方。 然后,我们可以对每一项 求其 1/2 次方 我们用不同颜色来写。 这样我们 不需要用括号。 乘以 4的1/2次方乘以5的1/2次方。 那一项 乘以 r 的4次方的1/2次方。 乘以--我可能把颜色都用完了-- s 的4次方的 1/2次方。 我们求每一项的 1/2 次方, 乘以 s 的1/2次方。 还有很多方法来简化, 但有一件事可以首当其冲, 这里有些求平方根的项可以完全开方, 我们求它们的平方根, 先简化这些项。 这里,4 的 1/2 次方就是 2 , 我们取 4 的主根, 5 的 1/2次方是什么? 我们不能求出它的平方根, 所以写成 5 的平方根。 r 的 4次方的 1/2次方。 有两种方法, 4 乘 1/2 是 2, 所以就是 r 的平方, 或者你可以认为 r 的 4次方的平方根 是 r 的平方。 这是 r 的平方。 同样,s 的4次方的平方根或者 1/2次方也是 s 的平方。 然后,这个 s 的1/2次方,我们 写成 s 的平方根。 就是这样。 看看我们还能做什么, 我们写出其他的项。我们有 r 的4/3次方 乘以 s 的 6次方 乘以2 乘以 5 的平方根 乘以 r 的平方 乘以 s 的平方 乘以 s 的平方根。 这里我们还可以做几件事, 我们可以合成这些 s 项,我们来做。 我们先把 2 写在最前面, 先把 2 写在最前面。你有 2 乘以-- 现在看这两个 s 项, 我们有 s 的6次方乘以 s 的平方, 要简化它, 可以对它有不同的解释, 我们说 s 的6次方乘以 s 的2次方, 就是 s 的8次方。 6 加 2。 乘以 s 的8次方。 再乘以 --现在,这一项很有意思, 我们可能要把它分开,这取决于对于什么是 真正的简化的看法。 我们有 r 的 4/3次方乘以 r 的2次方。 r 的4/3次方等同于 r 的1又/1/3次方。 这就是 4/3。 1又1/3 加 2 是 3又1/3, 我们可以写成 乘以 r 的 3又1/3次方。 这里有点不一致, 这里,我加上了分数。 这里,对于 s ,我用了 s 的 1/2次方 这是从这些 s 得到的。 我们可以进行变换,所有这些表示 都是有效的。 我们已经处理了 2, 处理了这两个 s , 我们已经处理了这些 r , 然后,你有 5 的平方根 乘以 s 的平方根。 我们可以把它们合在一起, 但是我先不这样做。 乘以 5 的平方根乘以 s 的平方根。 现在有两种方法, 这里,我们可能不想要分数的指数, 那么我们可以把它分开, 或者我们或许想把这一项与 8次方合并。 因为你知道这和 s 的1/2次方是相同的, 让我们用两种方法。 如果我们想把所有指数合并, 我们可以把它写成 2乘以 s 的8次方乘以 s 的 1/2次方, 也就是 s 的 8又1/2次方。 它就等于 2 乘以 s 的 8 --我甚至可以写成小数-- 8.5。 8 加 --你可以把它想成 s 的 0.5次方。 就是 s 的8.5次方乘以 r 的3又1/3次方。 这里,我混用了符号 我用了小数符号, 然后又用了分数符号,混合数字符号, 乘以 5 的平方根。 这是一种简化方式。 我是想使可能得到的项数最少。 如果你不喜欢它就还可以有另一种简化方式, 这里的这些分数指数,你可以把它写成-- 我用不同的颜色。 你可以写成--这些都是 等同的描述。 这取决于对简化的不同见解。 你可以写成 2乘以 s 的8次方, 不写 r 的3又1/3次方,你可以写成 r 的3次方乘以 r 的立方根, 它和 r 的1/3次方相同。 我们可以写成 r 的3次方乘以 r 的1/3次方。 r 的1/3次方和 r 的立方根是相同的。 然后你有这两项的平方根, 也就是求这两项得 1/2次方。 你可以说,这就是求 5s 的平方根。 我更喜欢左边的这种方式 对我来说,它非常简洁。 我们把底数都合并了。 我们有这两个数字,我们已经合并了所有的 s 项, 所有的 r 项,而这一种要复杂一些, 你有一个立方根, 你没有把 r 和 s 分开。 如果非要让我说,我采用这一个-- 其实简化就是简化成你所喜欢的方式。