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主要内容
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视频字幕

关于指数我们已经了解了不少。 比如我们知道 4 的 3 次方, 就等同于 3 个 4 相乘。 你也可以从 1 开始, 然后 3 次以 4 乘以这个 1 。 无论哪个方法,结果就是 4 乘以 4 等于 16,再乘以 4 得到 64。 我们也了解一些负指数的情况。 比如 4 的 -3 次方, 我们知道该负号意思是 4 的倒数 1/4 的 3 次方。 我们已经知道 4 的 3 次方是 64, 所以 4 的 -3 次方就是 1/64。 再看看分数指数。 比如 4 的 1/2 次方。 我建议你暂停该视频, 想一想答案是多少。 根据数学惯例, 或者大家用的数学定义, 4 的 1/2 次方就是 4 的平方根。 以后我们要谈到 这么定义的原因, 以及指数运算的 各种性质。 可是 4 的平方根,特别是 4 的 主根是什么意思呢? 它的意思是,哪一个数, 让它和它自己相乘, 或者用两个相同 的数相乘, 可以得到 4? 什么数和它自己相乘等于 4? 当然是 2。 为了便于理解, 我们也可以这么写, 4 等于 2 的平方。 因此你看到这个有趣的现象。 4 的 1/2 次方等于 2, 2 的平方等于 4。 我们再用几个例子,让你 更好地掌握这个道理。 而且我建议你尽量暂停视频, 自己琢磨出结果。 根据刚才我们说的道理, 你想一下 9 的 1/2 次方是多少? 其实就是 9 的平方根。 9 的主平方根等于 3。 根据类似的道理, 我们也可以说 9 等于 3 平方。 这两个说法都是正确的。 再举一个类似的例子。 25 的 1/2 次方是多少? 就是 5。 5 乘以 5 等于 25。 你也可以说 25 等于 5 的平方。 现在考虑一下一个数 的 1/3 次方。 比如 8 的 1/3 次方。 某数的 1/3 次方 的定义就是 它的立方根。 这个例子中立方根的意思是有一个数, 把三个这样的数相乘, 就会得到 8。 就是某数乘以它自己两次等于 8。 我们已经知道 8 等于 2 的 3 次方。 因此 8 的立方根,或者说 8 的 1/3 次方, 等于 2。 这就是说,有一个数, 和它自己相乘的积再乘以它自己, 就等于 8。 这个数就是 2,因为 2 的三次方等于 8。 再来几个类似的例子。 64 的 1/3 次方是多少? 我们已经知道 4 乘以 4 再乘以 4 等于 64。 所以64 的 1/3 次方是 4。 这里我们已经写了 64 就是 4 的 3 次方。 我想你开始看出些规律了, 是某种对称性。 这个道理可以延伸到任意有理指数。, 我来用个方便的数字来举例, 比如说 32。 32 的 1/5 次方。 这个式子的意思是,有一个数, 把 5 个该数 相乘,就得 到 32。 32 就等于 2 乘以 2 再乘以 2 再乘以 2 再乘以 2。 因此 2 就是那个数,如果把 五个它相乘,就等于 32。 所以这个数就是 2,而另一个 表示法就是 32 等于 2 的 5 次方。