有理指数介绍

关于指数我们已经了解了不少。 比如我们知道 4 的 3 次方， 就等同于 3 个 4 相乘。 你也可以从 1 开始， 然后 3 次以 4 乘以这个 1 。 无论哪个方法，结果就是 4 乘以 4 等于 16，再乘以 4 得到 64。 我们也了解一些负指数的情况。 比如 4 的 －3 次方， 我们知道该负号意思是 4 的倒数 1／4 的 3 次方。 我们已经知道 4 的 3 次方是 64， 所以 4 的 －3 次方就是 1／64。 再看看分数指数。 比如 4 的 1／2 次方。 我建议你暂停该视频， 想一想答案是多少。 根据数学惯例， 或者大家用的数学定义， 4 的 1／2 次方就是 4 的平方根。 以后我们要谈到 这么定义的原因， 以及指数运算的 各种性质。 可是 4 的平方根，特别是 4 的 主根是什么意思呢？ 它的意思是，哪一个数， 让它和它自己相乘， 或者用两个相同 的数相乘， 可以得到 4？ 什么数和它自己相乘等于 4？ 当然是 2。 为了便于理解， 我们也可以这么写， 4 等于 2 的平方。 因此你看到这个有趣的现象。 4 的 1／2 次方等于 2， 2 的平方等于 4。 我们再用几个例子，让你 更好地掌握这个道理。 而且我建议你尽量暂停视频， 自己琢磨出结果。 根据刚才我们说的道理， 你想一下 9 的 1／2 次方是多少？ 其实就是 9 的平方根。 9 的主平方根等于 3。 根据类似的道理， 我们也可以说 9 等于 3 平方。 这两个说法都是正确的。 再举一个类似的例子。 25 的 1／2 次方是多少？ 就是 5。 5 乘以 5 等于 25。 你也可以说 25 等于 5 的平方。 现在考虑一下一个数 的 1／3 次方。 比如 8 的 1／3 次方。 某数的 1／3 次方 的定义就是 它的立方根。 这个例子中立方根的意思是有一个数， 把三个这样的数相乘， 就会得到 8。 就是某数乘以它自己两次等于 8。 我们已经知道 8 等于 2 的 3 次方。 因此 8 的立方根，或者说 8 的 1／3 次方， 等于 2。 这就是说，有一个数， 和它自己相乘的积再乘以它自己， 就等于 8。 这个数就是 2，因为 2 的三次方等于 8。 再来几个类似的例子。 64 的 1／3 次方是多少？ 我们已经知道 4 乘以 4 再乘以 4 等于 64。 所以64 的 1／3 次方是 4。 这里我们已经写了 64 就是 4 的 3 次方。 我想你开始看出些规律了, 是某种对称性。 这个道理可以延伸到任意有理指数。, 我来用个方便的数字来举例， 比如说 32。 32 的 1／5 次方。 这个式子的意思是，有一个数， 把 5 个该数 相乘，就得 到 32。 32 就等于 2 乘以 2 再乘以 2 再乘以 2 再乘以 2。 因此 2 就是那个数，如果把 五个它相乘，就等于 32。 所以这个数就是 2，而另一个 表示法就是 32 等于 2 的 5 次方。