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主要内容

等差数列显式和递归公式的转换

了解如何在等差数列的递归和显式公式之间进行转换。
在开始学习本课前,请确保你已经掌握了等差数列的 递推公式通项公式 .

将递推公式转换为通项公式

等差数列的递推公式如下.
{a(1)=3a(n)=a(n1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
这个公式包含等差数列的两个信息:
  • 首项是 start color #0d923f, 3, end color #0d923f
  • 要从前一项推出后一项,需要在前一项上,start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6. 也即,公差为 start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
根据以上信息,我们可以得到等差数列的通项公式.
回想一下,对于首项是 start color #0d923f, A, end color #0d923f 并且公差是 start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 的等差数列,它的标准通项表达式是 start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
所以,上面等差数列的通项公式写为 a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 2, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

看看你的知识掌握地如何

1)请写出下面等差数列的通项公式.
{b(1)=22b(n)=b(n1)+7\begin{cases} b(1)=-22 \\\\ b(n)=b(n-1)+7 \end{cases}
b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

2)请写出下面等差数列的通项公式.
{c(1)=8c(n)=c(n1)13\begin{cases} c(1)=8 \\\\ c(n)=c(n-1)-13 \end{cases}
c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

将通项公式转换为递推公式

示例 1:通项公式是标准形式

我们已知的等差数列的通项公式是下面的格式.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 16, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
这里的形式正是标准通项公式的格式 start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis ,其中 start color #0d923f, A, end color #0d923f 是首项, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 是公差.由此可知,
  • 数列的首项是 start color #0d923f, 5, end color #0d923f
  • 公差是 start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6.
我们来写出该等差数列的递推公式.回忆一下,递推公式中要包含两条基本信息:
  1. 首项从上得知这里是 start color #0d923f, 5, end color #0d923f, )
  2. 后一项与前一项之间的变化规律 从上得知是"加 start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6"
因此,该数列的递推公式如下.
{d(1)=5d(n)=d(n1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

示例 2:通项公式是简化形式

我们已知的等差数列的通项公式是下面的格式.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, n
请注意,这个公式 不是 标准通项公式的形式 start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
所以,我们不能直接从公式中找到首项和公差.我们得先算出前两项的值:
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, 12
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 2, end color #11accd, equals, 14
现在,我们就发现了首项是 start color #0d923f, 12, end color #0d923f ,公差是 start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
因此,该数列的递推公式如下.
{e(1)=12e(n)=e(n1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

看看你的知识掌握地如何

3) 等差数列的通项公式为 f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 5, plus, 12, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
请为其对应的递推公式填写相应的值.
{f(1)=Af(n)=f(n1)+B\begin{cases} f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
B, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

4) 等差数列的通项公式为 g, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 11, minus, 8, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
请为其对应的递推公式填写相应的值.
{g(1)=Ag(n)=g(n1)+B\begin{cases} g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
B, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

5) 等差数列的通项公式为 h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 1, plus, 4, n.
请为其对应的递推公式填写相应的值.
{h(1)=Ah(n)=h(n1)+B\begin{cases} h(1)=A\\\\ h(n)=h(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
B, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

6) 等差数列的通项公式为 i, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 23, minus, 6, n.
请为其对应的递推公式填写相应的值.
{i(1)=Ai(n)=i(n1)+B\begin{cases} i(1)=A\\\\ i(n)=i(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
B, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

挑战问题

7) 下列公式中,哪些能表示等差数列 101, ,, 114, ,, 127, ,, point, point, point
选择所有正确的答案:
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