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主要内容

学会如何找到等差数列的递推公式,比如说,找到3, 5, 7,...的递推公式

学会如何找到等差数列的显式公式. 比如, 找到3, 5, 7,...的显式公式
在上这一课之前,请确保你已经熟悉了 等差数列公式基础.

通项公式是如何工作的

这里是序列 3, 5, 7, ... 的显示公式
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
在这个公式中, n 可以是任何数而 a, left parenthesis, n, right parenthesis 代表的是序列中第 n 项所对应的数值.
通过这个公式我们可以直接计算出序列中任意一项所对应的数值是多少.
举例来说,为了找到第5个序列数的值,我们只需要代入n, equals, 5到这个显示公式里.
a(5)=3+2(51)=3+24=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
真棒!这其实就是 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point 这个数列的第5个数.

看看你的知识掌握地如何

1) 通过 b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis 找到序列中 b, left parenthesis, 10, right parenthesis 的值
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

写出等比数列的通项公式

考虑这个等差数列 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point, 序列中第一个数是start color #0d923f, 5, end color #0d923f, 等差数列的公差是 start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
我们可以通过将第一个数start color #0d923f, 5, end color #0d923f 重复地加上公差 start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6来得到任何一个序数的数值. 看一下下列前几位数的计算.
n计算第 n 位数
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
这个表表示出可以通过将第一个数start color #0d923f, 5, end color #0d923f 重复 n, minus, 1 次加上公差start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6得到 n 序数对应的数值 (n 可以是任何的序数),这个可以用公式表示为:start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
总的来说,一个标准的等差数列的显示公式的第一项是 start color #0d923f, A, end color #0d923f 而公差是 start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6
start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

看看你对知识掌握得如何

2) 用一个显示公式来表示数列 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

2) 用一个显示公式来表示数列 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

4) 一个等差数列的显示公式是 f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
数列的第一项是几?
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
公差是多少?
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

通项公式的等价公式

显式公式可以以多种形式出现.
举例来说,下列公式是数列 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point 的等价公式.
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (这个是标准公式)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
这些公式可能看起来不太一样,但是重要的是我们可以通过代入一个 n 的值来得到第 n 个数对应的数值 (试着自己构造一些也可以得到正确的结果公式!).
描述同一个序列的不同的显示公式被称为 等价公式.

一个常见的误解

一个等差序列可能有不同的等价公式,但是重要的是记住 只有标准的公式会提供第一个序列数和公差.
例如,序列 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point 的第一个序列数是 start color #0d923f, 2, end color #0d923f, 公差是 start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
显示公式 start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis 描述了这个数列,但是显示公式 start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n 描述了不同的一个数列.
为了找到 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis 的一个格式为 A, plus, B, n 的等价公式,我们可以简单的通过运算规则打开括号:
=2+6(n1)=2+6n6=4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
一些人可能更倾向于使用 minus, 4, plus, 6, n 而不是它的等价公式 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, 因为它会更简短一些. 但是这个长一些的公式有一个好处是它直接给我们提供了第一个序列数的值.

看看你的知识掌握地如何

5) 找出序列的所有正确的显示公式 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point
选择所有正确的答案:
选择所有正确的答案:

挑战题

6*) 找到等差数列 199, comma, 196, comma, 193, comma, point, point, point 的第 124 个数的数值
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

7*) 等差数列中第一个数是 5 第十个数是 59.
公差是多少?
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$