If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

学会如何找到等差数列的递推公式,比如说,找到3, 5, 7,...的递推公式

Sal用前几个数列项找到了等差数列的显式公式. 他也探讨了这些公式的等价形式.

视频字幕

从这张表上可以看到, 对于每个给定的 n,如 n 为 1 时, 函数f(n)等于 12; n 为 2 时, f(n)等于 5; n 为 3 时, f(n)等于 -2 ; n 为 4 时, f(n)等于 -9 。 考虑这个问题的思路之一为 这个函数 f 确定了一个数列, 该数列的首项为 12 。 该数列的第二项为 5 。 该数列的第三项为 -2 。 该数列的第四项为 -9 。 而它还有没完没了的后项。 你可能注意到这是一个等差数列。 首项是 12,接着下一项... 怎么能从首项得到第二项?只要减去七。 再看从第二项到第三项, 怎么能从第二项得到第三项?减去七。 所以每一项比它的前项少了 7 。 规律掌握了,就看你能否确定这个 以 n 为自变量的函数。是否能得出一个显式公式。 因此需要确定一个函数。 就是我要找出以 n 为自变量的函数 f 等于什么。 要求你找出一个公式,这样 如果你把 n 代入其中,该公式就帮你算出 适当的f(n)函数值。 因此我们来考虑一下。 要知道这个公式是什么,我们可以先思考该数列的开头, 如第一项是 12 。 接着,我们需要减去 7 。 如何减去 7 呢? 我们需要减去 7 多少次呢? 所以第一项,我们应该减去 7零次 。 这样就得到 12。 对于第二项,我们减去 7 一次。 对于第三项,我们减去 7 两次。 对于第四项,我们减去 7 三次。 因此看起来无论是哪一项, 我们减去 7的次数是 n - 1。 无论我们要推算的是哪一项,我们都得减去 7, 次数是该项的序数减去1。 所以说是 n 减去 1 次。 我们来看看这个规律是否成立。 f(1)等于 12 减去 7 乘以 1 -1, 即 7 乘以 0。 结果就等于 12 。 f(2)等于 12 减去 7 乘以 2 -1 。 因此它就等于 12 减去 7 乘以1 。 这时就减去 7 一次, 刚好等于第二项。 从 12 开始, 这次减去 7 一次。 可以接着验证f(3)。 这次我们应该从 12 里减去 7 两次。 而我们看到 3 减1,就是两次。 这样我们就减去 7 两次。 因此证实了该公式的准确性。 我们得到了该显式函数。 我们为这个数列确定了显式的 f 函数。 这里再举个例子。 在这个例子里,我们 已经有确定的函数。 这样就有一个数列。 可以从这张表上看到。 可以看到它的首项是 -100 。 下一项是 -50,再下一项是 0 , 接着是 50 。 很清楚这 也是等差数列。 开头的数是 -100,下一项增加 50。 下一项再增加 50, 然后下一项再增加 50。 所以每一项都比它的前项多 50。 我建议你把这个视频暂停, 考虑一下这些函数 f 的公式中 哪些是正确的。 可能不止一个公式是对的。 好,现在我们来做判断。 对于最上面的这个公式, 一种理解思路 是从 -100 起头 。 然后加上 50,n 减1次。 这个公式合理吗? 对于第一项,如果从 -100 开头, 不需要加上 50 我们希望加上 50 零次,而这给公式刚好可以得出这个结果。 原因是 1 - 1 = 0。 因此 n = 1时这个公式没错。 对于 n 为 2 的情形,开头还是 -100, 我要加上 50 一次。 所以这个 n - 1 应当等于 1。 这一项 是 2 -1, 刚好是 1 ! 要做的就是加上 50 。无论这个 n 是多少, 要加上 50 的次数 必须比这个数少一。 对于第三项,我们要加上 50 两次。 对于第四项,我们要加上 50 三次。 这个公式要用这些数据来检验。 对于 n 为 4 的情形,我们要加上 50 , 4 - 1 即 3 次。 -100,加上 50 三次。 我们要加上 50 , 一次,两次,三次。 结果得到 50。 所以我觉得这个公式不错。 再来看看这个公式。 -150 加上 50 乘以 n 。 好吧,这个公式的意思是, 如果 n 等于 1,其结果是... 实际上, 我把这个公式的结果填在一张表里。 所以对应于每一个 n ,都有 n 的 f 函数值。 这个表对应于这里的第二个公式。 因此如果 n 为 1,它就等于 -150 加上 50。 结果是 -100。这一步得到验证。 如果 n 为 2,它就等于 -150 加上 50 乘以 2,其结果是 这项等于 100,前面是 -150, 和就是 -50 。 如果 n 为 3,这当然也可以得到验证 。 如果 n 为 3,它就等于 -150 加上 50 乘以 3,其结果是 0 。 这得到验证 。 第二个公式也不错。 而你可能会说, “这两个公式不一样。” 但是你可以做些代数推导, 就发现这两个公式实际上一样。 对于第一个公式, 是 -100 加上,在第二项运用乘法分配律, 加上 50n ,再减去 50 。 这时合并同类项,-100 减去 50,得 -150。 然后再加上 50n 。 所以这两个公式 完全是一样的。 我们看最后一个公式如何? -100 加上 50n,这个公式行不行? 我们先来检验 n 等于 1 的情形, 这时这个公式得出的是 -100 + 50 等于 -50。 不行,数据对不上。 应该得到 -100 才行。 因此这个公式不对。