等差数列显式和递归公式的转换

这里有一道方程h(n) 它显式定义了 一个数列中的每一项 让我在这里 快速列个表格 我们有n，然后是h(n) 当n等于1时 h(n)=-31-7(1-1) 也就等于 这里是0 就等于-31 当n=2时 方程就等于-31-7×(2-1) 这里是2-1 就是1 因此它就等于-31-7 就等于-38 当n=3时 这就等于 -31-7×(3-1) 括号里是2 我们就要减掉两个7 就等于-31-14 也就是-45 有没有看出规律？ 我们从-31开始 然后就一直减 一直减去-7 以后每一项都要减去-7 事实上，每一项都要减去比项数少1个的-7 每一次减掉的-7的个数 都比项数少1 如果我们计算第三项 那就减掉两个-7 如果我们计算第二项 那就减掉一个-7 这都没问题 但我希望你现在能暂停播放视频 看一看能不能把这个数列定义出来 这里的数列开始于-31 然后不断减掉-7 所以这后面就是-38、-45 再下一项就是-52 然后一直持续下去 每一项都继续减掉一个-7 我们能否把这个数列 转化为递归表达？ 不如你们自己先来试一试 我们一起来试着把它按照递归方程来写一写 把它叫做g(n) g(n) 某种形式上来说，递归方程的表达更简便 你看 数列的第一项，当n=1时 我写在这里 当n=1时 n=1 g等于多少？ g=-31 -31 如果n>1 且为整数 这就把所有正整数范围内的情况 给定义了 这里就是前面一项 g(n-1) 减去7 -7 我们就说，嘿 如果我们挑任意一项 我们只需要看前面一项是多少 然后减掉一个7就算出来了 很简单方便 因为你一直是用起那面的一项 或者再前面的一项来定义 一直可以追溯到基准情况 也就是n=1时的情况 然后就用那个一步一步递归下来就可以了 得到的是完全一样的数列 我们换一道题 把顺序倒过来 我们这里有一个 递归数列 我想把它用一个 显式方程定义出来 我们来想一想 一种方法是 在这个数列中 当n=1时，第一项是9.6 之后的每一项都等于 前面一项减掉0.1 第二项就是前一项-0.1 就等于9.5 然后你还会得到9.4 再然后就是9.3 我们可以一直算下去 我们还是可以在这里画一个表格 我们可以说 这里是n，这里是h(n) 你可以看出，当n=1时 h(n)=9.6 当n=2时 这就是这一项了 这里就是h(2-1) 也就是h(1)-0.1 就等于 这一项减0.1 也就是9.5 当h=3时 这里就是h(2)，也就是 h(2)-0.1 减去0.1 h(2)就在这儿 减掉0.1后得到9.4 跟这里的计算情况一致 我们这里可以暂停播放视频 把这个定义出来 建一个能够显式表达 这个代数序列的方程 这里是递归表达的形式 我们想用显式表达 就把这个显式方程记为 f(n) 这里就是9.6 但是我们还要往下减呢 我们减掉0.1 一直这样减下去 具体减几次取决于我们讨论的是哪一项 我们会减掉0.1 但是总共要减掉 多少次呢？ 我们来看看 如果说的是第一项的话 我们就减掉0个0.1 第二项减掉一次 第三项减掉两次 第四项减掉三次 不管讨论的是哪一项 我们都减去(n-1)个0.1 如果我们说的是第n项 我们就减掉(n-1)个0.1 你可以自己验证这是否正确 当n=1时 这里这一项就是0 这个这一块就是0 你就得到了9.6 当n=2时 2-1 你要减去一个0.1 9.6-0.1=9.5 你可以一直这样算下去 你也可以画一个表格 然后看看自己更喜欢用哪一个 关键是开始的第一项一定是9.6 然后一直减去0.1 每次减掉的个数都要比项数少1 如果你看的是 n=4这一项 你就要减掉三个0.1 你已经看到了 减掉一个0.1 减掉两个0.1 减掉三个0.1