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几何序列的显式和递推公式

视频字幕

-[配音] 好,这个表中 给出了一些N的值 N等于1,2,3,4, 然后我们有对应的G的值 其中一种思路是这个函数 G,定义了一个数列,其中N是其中的项 所以比如我们可以说,它就等同是 第一项是168, 第二项是84,第三项是42, 第四项是21这样一个数列, 我们可以继续下去 现在,我们想一下这是什么类型的数列 如果我们考虑它是从168开始 然后我们怎样从168到84? 好,一种方式是,我们可以说,减到84 但是另外一种考虑的方式是 你可以将之乘以1/2 所以,乘以1/2 然后从84到42 你可以通过再次乘以1/2来得到 乘以1/2 然后从42到21,你可以再次乘以1/2 所以,这里是个几何级数 我们由一项开始,每一个后继的项 是前面一项乘以,我们经常称之为 公比,乘以1/2 所以,我们如何写出G(N), 我们如何将它定义成以N为变量的通项公式? 我鼓励你暂停视频 考虑一下如何处理 所以,我们创建一个,如果我说G(N)等于, 考虑一个函数的定义,它描述出 我们从这里的168开始看到的关系 然后,每次乘以1/2 你可以添加一个新的项进去 一种考虑的方式是,我们从168开始 然后我们要乘以1/2 我们要乘以1/2一定的次数 所以,我们可以将指数是为次数 我们乘以1/2 然后,我们要将1/2相乘多少次? 第一项,我们乘以1/2为0次 第二项,我们乘以1/2为1次 第三项,我们乘以1/2为2次 第四项,我们乘以1/2为3次 所以,这个数字,看上去不管是哪项 我们要把1/2乘以项数减1次 这样就可以了 如果N等于1,你会得到 1减去1,得到0 1/2的0次方得到1 所以,你就得到了168 如果N是2,2减去1 你要乘以1次的1/2 在这里 N是3的时候,你要乘1/2两次 3减去1是2 你要把1/2乘两次 你在这里可以看到 所以,它确实是一个很好的通项公式 来定义这个等比数列 你可以用另外一种办法来考虑这个问题 你可以写出来,G(N)等于 我们来看看,一种方式是写成, 你可以写成168,我只是用代数方式 将它写成168除以2的N减一次方 另外一种思考方式是 我们来用一下指数 我们说G(N)等于,我们看看, 1/2的N减1次方,这个等于 1/2,我们写下来 它等于是168 我用另外一种颜色来写 这里的这个部分等同于是 1/2的N次方 所以,乘以N次的1/2,乘以1/2 的-1次方 1/2的-1次方 1/2的-1次方 是2,就是2,所以 这个是乘以2 所以我们可以将整体重写为 168乘以2得到多少? 336? 336,我计算的对嘛? 160乘以2是320,加上16 2乘以8,对,是16 然后乘以1/2的N次方 乘以1/2的N次方 所以,这些是等价的论述 这个在直觉上感觉更好 答案直接呼之欲出,你从168开始 然后乘以1/2 任何一项你减掉一次 但是代数上 它和最先那个等同 但是,我们是否可以通过递归的方式定义G(N) 我鼓励你暂停视频,看下是否可以独立解答 在很多层面,递归这种定义方式 比较直接一些,所以我们来做一下 G,我们创建一个递归函数 我仍然用G(N),因为 这里表中是这样写的 G(N)等于,我们来看看 如果我们想的话,当N等于1, 如果N等于1,我们从168开始 168,然后如果N大于1 并且是一个整数,所以,如果N 的定义覆盖所有的正整数 和整数,我们要如何做 好,我们要将1/2乘以 前面的那一项 所以,它等于是1/2乘以G(N-1) 你可以验证它 如果N等于1,你看这里 它等于是168 G(2)是1/2乘以G(1) 也就是,168 所以,168乘以1/2,得到84 G(3)是1/2乘以G(2) 也就是说,G(3)是G(2)的一半 所以,我们可以这样来定义这个数列 这是这个数列的清楚的定义 这是一个递归函数,来定义这个数列