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主要内容

以递归形式评估序列

Sal演示如何计算用 递归公式定义的序列。此定义提供了基数,然后定义了如何使用基数查找后续项。

视频字幕

【声音开始】我们现在有函数g 我希望你暂停一下视频 试图解一下g(1)是多少 g(2)是多少 g(3) 以及 g(4) 解出这四项是多少 好的,我们一起做一下 g(1),如果n等于1的话 我们就符合这个情形 如果n等于1,g就等于4 这个很直接 现在开g(2) 如果n等于2 2是比1大的整数 所以我们得用这个情形 这个很有意思 因为其定义中包含的函数 不是以g(n)项定义的 而是g(n-1) 所以如果n等于2,因为我们在求g(2) 这就等于g(2-1) 或者g(1)加上3.2 加上3.2 这等于多少呢? g(1)我们知道是4 我们刚刚算出来了 4加上3.2等于7.2 好的,我们继续 g(3)再次符合这个情形 因为3是大于1的整数 这就等于g(3-1) 或者g(2)加上3.2 加上3.2 我们知道g(2)等于7.2 我们刚刚算了,等于7.2 7.2加3.2等于 10.4 g(4)再次符合 我们用g(3)加3.2 g(3)加3.2 这等于多少呢? g(3)我们刚算出等于10.4 10.4加上3.2等于 13.6 我们在这里有的东西 很有意思 你可以把它看成g的函数 其定义域覆盖整个正整数范围 因为其定义域覆盖正整数 我们可以把它看成一个数列 我们来看看这里的数列 首项是4 第二项是7.2 后面是10.4 再后面是13.6 我们可以不停地写下去 这个数列里发生了什么? 我们从4开始 我们从4开始 这里的函数告诉我们 如果n等于4 如果n等于1 函数就等于4 并且后面的子项 就是其前一项加3.2 第二项我们加上3.2,我们加上3.2 我们继续加 我们继续加3.2 不是32,是3.2,来得到后一项 我们本来可以用这种方法来定义,比如说 我们有一个数列,初始项是4 之后的项是前一项加3.2 但这有一个也很有意思的定义方式 这种定义方式 我们把其定义成代数函数 一个定义域覆盖整个正整数的函数 其初始项已给定 在这个例子中,初始项 就是给我们的首项 然后我们有其他条件 来定义这个函数 你需要反过来递归 来得到初始想 我们把这种情形叫做递归函数 递归函数 通过这里例子,我们来学习下 如何通过递归函数来 定义一个数列 我们这里是按照顺序来的 但其实也可能会反过来 比如g的 g(6)是多少? 你会回到这里例子里,你会说 “其等于g(5)加3.2” 其等于前一项加3.2 如果我们把它看成数列 我们就得计算出 前一项是多少 g(5)等于g(4) g(4)加上3.2 你需要不停地回推 但你已经计算出了g(4) 等于13.6 所以这就是16.8 如果g(5)等于16.8 16.8加上3.2,你会得到20 所以你可能会从g(6)开始,不停回推 知道你计算出g(1) 计算出其等于多少 你递归到初始项 然后你就能填补空白了 我们来做几个例子 我们这里有个函数 假设其定义了一个数列 我们来思考下这个数列 的前四项,再次 我希望你暂停下视频并自己思考下 好的,我们一起来做一下 题目很清楚地告诉我们h(1) 等于14 如果n等于1,h等于14 h(2) 我们知道其符合这个情形 因为2是大于1的正整数 所以其等于28除以h(1) 除以h(1) 我们知道h(1)是14 这就等于28除以14等于2 现在求h(3) h(3)再次符合这个情形 等于28 28除以h(2) 若将其看作一个数列 除以其前一项 所以28除以h(2) 我们知道h(2)等于 等于2 我们刚算出 所以我们回到14,这很有意思 你应该能看出来之后会怎样了 h(4)等于28除以h(3) 28除以h(3) 就是28除以 这里的h(3) 我们刚算出 除以14,就得到2 如果我们考虑这个数列 我们说:“好的,初始项是14 然后我们得到2 然后得到14 然后得到2” 所以一种思考这个数列的方式是 我们不停地交替14和2 所有的奇数项等于14 所有的偶数项等于2 这是一种思考方式 另一种思考方式是 我们从14开始 之后的项就是前一项 28除以前一项 所以28除以14得2 28除以2得14,28除以14得2 可以一直持续下去 这也是实际发生的情形 我们再做一个例子 这个很有意思 因为我们现在有 我们现在有两个初始项 我们来思考下 我们想要 我们想要解出 f(4)是多少 f(4)符合这个情形 4比2大并且是整数 这就等于f(4)减去2 所以这就等于f(2)加上f(4-1) 加上f(3) 所以f(4)等于 前两项的和 好的,让我们来解一下 f(3)是多少 f(3)也符合这个情形 其等于f(3-2),也就是f(1) 加上f(3-1),加上f(2) 前两项之和 让我们来看看f(2)等于多少 我们现在不用求 前两项之和了 我们符合这个情形。N现在等于2 这就等于-4 我们需要找到 f(1)等于多少 我们看到n等于1时 f等于-6 我们的两个初始项在这 初始项,也就是其定义 非函数表达式 你需要它 否和你就得不停地递归了 永远也得不到一个具体数值 但现在我们把它们的数值带进去 这个数列是-6 然后第二项是-4 然后第三项是前两项之和 -6加上-4得到-10 -6加上-4得到-10 然后第四项是前两项和 我们在这能看到 第二项,f(2),加上f(3) -4加上-10得到-14 我们可以持续下去 所以这里就是-14 这就是这个视频地目的 你现在对递归函数开始有一定了解了 你也知道了如何运用其 来定义整个数列