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主要内容

序列导论

序列是有序的数列(称为“项”),例如 2、5、8。有些序列遵循特定模式,可以将其无限延长。例如,2、5、8 遵循 ”加3“ 的模式,所以我们可以一直继续这个序列。序列可以有公式来告诉我们怎样求序列中的某个项。例如,2、5、8……可以用公式表示为 2+3(n-1)。 Sal Khan 创建

视频字幕

我在这个视频里所讲的是让我们 来熟悉怎么标示一个序列 组成序列就是一组有序的数字 比如,我有这么一个有限序列 意味着在这个序列中我不会去到无限 在这里起始数是1,然后后一个数是前一个数加3 所以1加3等于4 4加3等于7 7加3等于10 我就只有这4个数 那么这么一组数可以称为一个有限序列 我也可以有无限序列 来看这个无限序列 起始数为3,然后不断的加3得到后面的数 我们就有3,7,11,15 您也不必都是加同一个数 我们以后可以来做更奇怪一点的序列 这些序列是加同一个数 我们称他们为等差数列 我们会对这些数列做更详细的说明 但是为了表示无限序列 来表示这个模式会一直进行下去 我就用3个圆点表示 这个符号就表示模式会一直进行下去 所以我们称其为无限序列 现有很多不同的符号 看起来很奇特用来表示序列 但是这些就是全部的符号 我想让我们来有信心怎么 来标记这些序列并且怎么去定义它们 这个序列我们可以这么来做 这是一个a序列子项为ak,k从1到4 就等于这个 所以当我们这么来看的时候 我们可以看成它们是这个序列里的每一项 那么这个就是序列里的第一项 我们称它为子项a1 那么这个第二项 我们成为子项a2 我想您可以自己来说--这是子项a3 这个就是子项a4 所有这些说法,所有子项ak,从k等于1 也就是第一项,去到第4项 现在,我也可以不用全部写出来 来定义这个序列 我实际上可以来定义这个序列 用一种函数的符号 或者接近于函数的某种方式来表示 所以就这个同样的序列,我可以定义为 作为子项ak从k的第一项1到第4项---与其全部 把数写出来,我可以说每一个子项ak 是等于k的某一种函数 我们来看是什么意思 当k等于1,我们得到1 当k等于2,我们得到4 当k等于3,我们得到7 所以呢 当k等于3,我们加了2次3 我再来表述更清楚一点 这是加3 这里是加3 这里也是加3 所以不论k是多少,我们从1开始 我们加3的次数就比k项数少一次 所以我们可以表达为1加 (k-1)乘以3,或者 可以写成3(k-1) 您可以来验证 当k等于1,(1-1)等于0 所以子项a1等于1 当k等于2,您有1加3等于4 当k等于3,您有3乘以2加1等于7 所以是对的 所以这是一种用函数符号 来表示我们序列的方法 我要强调清楚一下--- 我实际上在这里做了一个函数定义 如果我想用更传统一点的函数符号的话 我可以这样来表示a(k) k是我关心的项, a(k) 等于1+3(k-1) 这个就是一个函数 其中的输入项,也就是输入域值 只能是正数 现在,我又怎么来标记这个呢 我可以说,这个就等于 人们习惯用a来表示 我也可以用符号b或者其他任何数来表示 我还是就用a来表示-序列--子项为ak的序列 我们从我们的第一个数 也就是a1,这个是a2 一直到无穷 我们也可以定义为--如果我们要用函数来定义 我们可以把这个序列写成ak k从第一个项一直到无穷 表示为a的k项等于,从3开始 以后每项我们加4的次数比k少一次 所以对于第二项,我们加一次4 对于第三项,我们加2次4 对于第四项,我们加3次4 所以我们加4的次数比该项次少一次 所以这里是加4乘以(k-1) 这是用另一种方法来 定义这个无限序列 在这2个例子里 我都用显函数来定义了序列 这个是显函数 这个颜色不吸引人 我来把它写出来 这是显函数 您可能会问 有没有其他方法来定义这些函数呢 当然,我们可以有其他方法,特别是 像等差数列,我们可以用递归法来定义 我想表达清楚一点---不是所有的序列 都可以像这样用显函数来定义 或者用递归函数来定义 但是很多序列都可以,这个序列就可以 它是个等差数列 我们不断地增加同样的数 那么我们怎么来做呢 我们可以用另一种方法来定义 这第一个序列,我们称为a的k项 k从第1项的4开始 当您来定义一个递归序列时 您想来定义第一项是什么,就是a1 等于1 您可以用前面的项来定义后面的项 所以我们可以表达为ak项 就等于前面的项 前面的项表达为a的(k-1)项 所以假设这个项等于前面那一项 让我来表示清楚---这是前面一项,加上--- 在这个例子里,我们每次加3 好了,这怎么合乎情理呢 我们在定义a的第一项 那么有人问,当k等于2是怎么回事呢 他们会说,喔,这将会是a的(2-1)项 所以这将会是a1加3 我们知道a1等于1 所以是1+3等于4 那么a的第3项是多少 那么就是a的2项加3, 我们刚算出来等于4 您加3 就等于7 这实际上就是我们头脑里 想到的,当我们最开始写这个序列时想到的,当我说 我要从1开始 然后我来对每一个后续项都加3 那么我们怎么来做这个 那么还是同样,我们把这个写成a的k项 从k项开始,这第一项直到 无穷项---我们第一个项,a序列的第一项 现在等于3 每一个后续项,a序列的k项 就等于前面的项,加4 再一次,您从3开始 然后如果您想到第二项 就是第一项加4 就等于3加4 您得到7 然后您一直加4 所以这些都是 递归定义 我们从一个基础项开始 然后每一个项都取决于前面那个项 的定义或者根据函数本身来定义 而函数本身表达是指不同的项