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主要内容

用几何序列的递推公式

塞尔在序列中找到第四项,其递归公式为 (1) = ⅛,a (i) = 2 a (1)。

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视频字幕

-【画外音】 这个等比数列的通项表达式 a 下标 i, 由下列公式所定义,首项 a 下标 1 等于 -1/8, 而其后的每项的定义式为, a 下标 i 等于其前项的 2 倍。 即 a 下标 i 为 2 乘以 a 下标 i-1。 问 a 下标 4,即该数列的第 4 项是多少? 建议暂停本视频,尝试自己解出本题。 解这题的方法不止一种。 其一是直接套用公式。 对于 a 下标 4, 就用这个公式。 a 下标 4 要等于 2 乘以 a 下标 3。 而 a 下标 3,如果套用同一公式, 等于 2 乘以 a 下标 2。 每一项等于其前项的 2 倍。 然后再用同一公式, a 下标 2 要等于 2 乘以 a 下标 1。 我们已经知道首项是 -1/8。 a 下标 2 要等于 2 乘以 -1/8, 就等于 -1/4。 这就是 -1/4。 2 乘以 -1/4, 就等于 -1/2。 a 下标 4 要等于 2 乘以 a 下标 3。 a 下标 3 是 -1/2。 a 下标 4 就等于 2 乘以 -1/2,就是 -1。 这就是一种解法。 另一个思路, 就是从已知首项 和公比出发。 我们知道每一接续项 都是前项的 2 倍。 所以我们可以确定, 这是等比级数的递归定义。 我们可以明确表达 a 下标 i 等于首项 -1/8 乘以 2 的乘方。 首项 -1/8 乘以 2 的次数是 i 减去 1 次。 因此可以说是乘以 2 的 i 减去 1 次方。 我们验算一下。 先看 a 下标 1,根据这个公式, a 下标 1 等于 -1/8 乘以 2 的 1 减去 1 次方, 就是 2 的 0 次方。 因此首项计算结果正确, 为 -1/8。 再根据这个公式, a 下标 2 应该等于 -1/8 , 乘以 2 的 2-1 次方, 就是 2 的 1 次方。 用首项 乘以 2 一次。 这个结果刚好合题意。 a 下标 2 等于 -1/4。 所以要求该数列的第 4 项, 可以用这个公式, a 下标 4 等于 -1/8 乘以 2 的 4 - 1 次方。 指数部分是 2 的 4 - 1 次方。 这样 a 下标 4 等于 -1/8 乘以 2 的立方。 就是 -1/8 乘以 8。 -1/8 乘以 8 就等于 -1。 你可能现在不能确定 哪个方法更好,但可以肯定的是,这第二个方法, 即已知首项 和公比后采用 这个显式公式, 如果要计算第 40 项就容易得多。 因为用第一种方法即递归法计算第 40 项, 就要用很多时间,及很多草稿纸。