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主要内容

序列应用题

Sal 解决了两道关于用算术和几何序列模拟真实情况的应用题。

视频字幕

-[画外音]穆罕默德决定每年跟踪记录 他家后院树上的叶子 第一年,树上有500片树叶 之后的每一年,树叶的总数 都要比前一年多40% 设n为一个正整数 设f(n)为穆罕默德记录的第n年 他家后院树上叶子的总数 f(n)这个表达式定义了一个数列 f(n)是一个什么样的数列呢? 你们有些人可能 已经想到了 之后每一年我们都持续增长40% 也就等于每年的总数是前一年乘以1.4 数列中之后的每一项 我们都乘以或除以同一个数 那就是等比数列 让我们把它表示的更形象些 好让大家容易理解 我们在这里 画一个表格 这是n,这是f(n) 当n=1时 也就是头一年,n=1,总共500片叶子 f(n)=500 当n=2时总数要增加40% 也就意味着前一年总数 乘以1.4倍 所以500×1.4,500×40%=200 总共增加了200 也就是说总数为700 在第三年,总数在700基础上 增加40%也就是280,总数变为980 注意,这肯定不是等差数列 如果是等差数列的话,我们每一次 都在前一项上加上或减去同一个数 但是这里我们不是加减 这里,从500变成700,总共增加了200 然后从700到980,我们增加了280 这里,我们每一次是在 乘以或除以同一个数 这道题中我们每次 对前一项乘以1.4倍 很显然这是一个等比数列 根据上面的回答 递推数列 可有以下两种形式 这个是等差数列 显然不适用于这道题 因此应该是等比数列 然后题目问我们 数列中参数A和B的值是多少 我们已经有了第一项 当n=1时,f(n)=A 我们知道n=1时 总共有500片树叶 因此A=500 如果算的不是第一项 而是其他任何一年 我们应该怎么用 前一年的值来表示它呢? 后面一年就等于前一年的 再加上40%,也就是前一年乘以1.4 B=1.4 取前一年的值 乘以1.4就得到了后面一年 这是除了第一项以外其他项的表达式 因此,B=1.4,我们这就算完了。 我们再来看一道例题 这道题很有意思 题目中说,书尹组织了一个聚会 她准备了50份小礼物送给大家 每位客人到场的时候 她会送出3份礼物 设n为一个正整数 g(n)为在第n为客人到达前 书尹所有礼物的总数 实际上,在计算之前 我要在这里画一个表格 题目中说这是第n位客人到达前的礼物总数 我要保证我对题目的理解是正确的 这是n 这个是g(n) 在这里 当n=1时 g(n)也就是g(1) 就等于第一位客人到来之前 书尹所有礼物的总数 在第一位客人到达之前 她共有50份礼物 现在,第二位客人到了 那么在第二位客人到达之前 她所有礼物的总数就等于 之前的总数减去送给第一位客人的3份 也就是总共47份礼物 当n=3时 第三位客人到达前 她总共有多少份礼物呢? 她已经给了前两位客人 每人各3份小礼物 也就是说现在有44份,猜你已看出规律了 当n=1时,g(n)=50 每一次n增加1 每一次n增加的时候 g(n)都减去3 因为每次来一位客人 她都要送出3份礼物 因此相邻两项之间的差值 是相等的,我们知道这是等差数列 然后题目要我们 写一个等差数列公式 我们来想想看 g(n)就等于 一开始总数是50 然后每位客人来到就减去3 那么减去n个3后是多少呢? 我们看,第一位客人 我们减去0个3 第二位客人我们减去1个3 第三位客人我们减去2个3 到第n位客人的时候 我们要减去(n-1)个3 注意,对第n位客人来说,我们减去2个3 第二位客人,减去1个3 第一位客人,减去0个3 这是对的 对第一位客人来说,我们会减去0次3 所以g(n)=50 我们可以看到这几项的规律是一致的 我可以把它写成50-3(n-1) 我非常推荐你们也这样来画表格 只要保证你把n-1 或者n写对了就搞定了