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主要内容

消元法回顾 (线性方程组)

消元法是求解线性方程组的一种方法。本文使用示例对该方法进行了回顾, 同时给您提供了尝试这一方法的机会。

消元法是什么?

消元法是解答一次方程组的一种技巧。让我们看几个例题。

例题1

求解下列方程组:
2y+7x=55y7x=12\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 5y-7x &= 12 \end{aligned}
我们留意到,第一个方程中有一项是7, x,而第二个方程有一项是minus, 7, x。如果我们把这两个方程相加,那么这两项就会抵消对方——也就是说,我们将消去含有未知数x的项,即消元
2y+7x=5+ 5y7x=127y+0=7\begin{aligned} 2y+\redD{7x} &= -5 \\ +~5y\redD{-7x}&=12\\ \hline\\ 7y+0 &=7 \end{aligned}
y,得:
7y+0=77y=7y=1\begin{aligned} 7y+0 &=7\\\\ 7y &=7\\\\ y &=\goldD{1} \end{aligned}
将该值代入到我们的第一个方程中,求出另外一个未知数:
2y+7x=521+7x=52+7x=57x=7x=1\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 2\cdot \goldD{1}+7x &= -5\\\\ 2+7x&=-5\\\\ 7x&=-7\\\\ x&=\blueD{-1} \end{aligned}
该方程组的解是 x, equals, start color #11accd, minus, 1, end color #11accdy, equals, start color #e07d10, 1, end color #e07d10
我们可以将这些数值代入到原来的方程中来验算。让我们试试第二个方程。
5y7x=12517(1)=?125+7=12\begin{aligned} 5y-7x &= 12\\\\ 5\cdot\goldD{1}-7(\blueD{-1}) &\stackrel ?= 12\\\\ 5+7 &= 12 \end{aligned}
是的,答案正确。
如果你不清楚这个过程的原理, 查看这个视频 的进一步讲解。

例题 2

求解下列方程组:
9y+4x20=07y+16x80=0\begin{aligned} -9y+4x - 20&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
我们可以把第一个方程乘以 minus, 4 得出一个等同的但含有 start color #7854ab, minus, 16, x, end color #7854ab 项的方程。我们新的(但是等同的!) 方程组如下所示:
36y16x+80=07y+16x80=0\begin{aligned} 36y\purpleD{-16x}+80&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
将方程式相加消去 x 项,得:
36y16x+80=0+ 7y+16x80=029y+00=0\begin{aligned} 36y-\redD{16x} +80&=0 \\ {+}~-7y+\redD{16x}-80&=0\\ \hline\\ 29y+0 -0&=0 \end{aligned}
y,得:
29y+00=029y=0y=0\begin{aligned} 29y+0 -0&=0 \\\\ 29y&=0 \\\\ y&=\goldD 0 \end{aligned}
将该值代入到我们的第一个方程中,求出另外一个未知数:
36y16x+80=036016x+80=016x+80=016x=80x=5\begin{aligned} 36y-16x+80&=0\\\\ 36\cdot 0-16x+80&=0\\\\ -16x+80&=0\\\\ -16x&=-80\\\\ x&=\blueD{5} \end{aligned}
该方程组的解是 x, equals, start color #11accd, 5, end color #11accdy, equals, start color #e07d10, 0, end color #e07d10
想看更多用消元法求解复杂问题的例题吗?查看这个视频

练习

问题1
  • 当前
解下面的方程组.
3x+8y=152x8y=10\begin{aligned} 3x+8y &= 15\\\\ 2x-8y &= 10 \end{aligned}
x, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
y, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

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