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工作例子: 等价方程组

Sal 分析了几个方程组,并确定它们是否与第三个给定系统具有相同的解。

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视频字幕

-[画外音] 微微和卡米拉的老师 给他们出了一道线性方程组的题目 他们各自算了几步 得到了下表所示的方程组 题目中已知老师出的原方程组 微微计算后得出的方程组 还有卡米拉得出的方程组 那么他们俩谁的方程组 和老师题目中的原方程组是等价的呢? 第一个要问我们自己的问题是 等价方程组是什么含义? 我们先解答这个问题 等价方程组就是和原方程组有同样解的方程组 如果一对X-Y的值是 老师题目中 原方程组的解 那么如果微微的方程组有同样的解 我们就叫它为等价方程组 同理,如果卡米拉求出的方程组有同解 那我们也可以叫它为原方程组的等价方程组 我们现在就来做一下对比 我们先来看微微的 他的第一个方程 跟老师的原方程组相比 并没有进行变形 因此任何满足原方程组条件的解 都应该符合微微这第一个方程 因为它根本就是一模一样的 当然是有同解 再来看第二个 第二个肯定是做过变形的 我们可以验证这个可不仅仅是 两边同时乘以相同的数 如果乘的话这就是从1变到0 你得把0和1相乘 才能让它相等 你必须对等式两边都做同样处理 但是左边乘以0就等于0 得到的就是0=0 所以他不只是对两边同时乘以同一个数字 看上去他做了其他变形 很有可能是两边同时加上或减去了某数 我们来看看 他具体是怎么做的 原方程是 -4x+5y=1 他经过变形后 得到了-3x+7y =0 我们来看一下他做了哪些变化 首先看第一项 从-4x到-3x 他应该是先加了一个x 我在这里写一个x 然后从5y到7y 他应该是加了2y 所以左边他加了 x+2y 我们这里写上x+2y 在方程右边,他应该 加上或减去了1,或者说加上了-1 我们这里写上一个-1 所以他对原方程组所做的变形 是把第一个方程的左边加到了第二个方程的左边 然后把第一个方程的右边加到了 第二个方程的右边 这是一个正确的变形方法 尽管变形之后得到的新线性方程 会在图上代表 一条不同的直线 但是得到的方程组仍然和原方程组有同样的解 为什么我们对这个 这么有信心呢? 满足这两个方程条件的x-y值 就是它们的解 对于那个解对应的x-y值来说 x+2y=-1 然后 我们把方程两边加上了同样的项 我们会说: 我在左边加上了x+2y 如果我不想改变方程组的解 我就要对右边加上相同的项 题目中已经说了这道方程的解是 x+2y=-1 所以-1和x+2y是等价的 因此我们并没有 改变原方程组的解 所以我们说微微这里做的 对原方程左边 和右边进行的变形 是完全合理的 这样变形不会改变原方程组的解 事实上,这是我们求方程组的解时 常用的一种做法 现在我们看一下卡米拉的解题过程 她的第一个方程和原方程组中 第二个方程是完全相同的 我们就来看她的第二个方程 这个和原方程组的联系是什么呢? 直观去看 看上去她好像是 在方程两边同时乘以了同一个数 看上去她是把 右边乘以了-8 所以是乘以-8 -1×(-8)=8 看上去左边也是 乘以了-8 -8×x=-8x -8×2y=-16y 所以她是对原方程两边同乘以一个数 这也不会改变方程的解 这只是 让方程看上去不一样了 但实际上代表的还是同一条直线 这肯定也是一个等价方程组 仍然是同样的约束条件 我们肯定会得到同样的解 不管什么时候解方程组的题目 只要是方程两边同时乘以同样的倍数 或者加上或减去等价的项 你都不会改变方程组的解 当我说加上或减去方程的时候 左边要加左边 右边要加右边 就像这样,或者如果我们用 上面的方程减去下面的方程的话 就是左边减去左边 右边减去右边 这也不会改变原方程组的解 所以他们两个的方程组都是等价的 这就是说他们方程组的解 和老师原方程组的解是相同的