消元法解方程组：x-4y=-18 和 -x+3y=11

我们有一个由两个线性方程组成的 方程组。 第一个方程，x-4y=-18， 第二个方程， -x+3y=11。 现在我们要做的是找到满足 这两个方程的一对x和y。 这就是解方程组的意义所在。 正如你可能已经看到的， 有很多对x和y 满足第一个方程。 事实上，如果你要把它们画出来， 它们会形成一条直线， 还有很多其他的x和y 能满足另一个方程， 第二个方程， 如果你要把它们画出来， 它会形成一条直线。 如果你找满足这两个条件的一对x和y， 就是这两条直线的交点， 让我们来算一下。 实际上，我要重新写一下 第一个方程， 我要写 x-4y=-18。 我们已经在代数中看到过 只要等式两边 做同样的事， 就能保持等式的相等。 那么如果我们要加数字， 我们的目标是消去一个变量 那么我们就有一个方程有一个未知数， 那么如果我们把这个-x+3y 加到左边呢？ -x+3y， 看起来不错， 因为一个x和-x会消掉， 我们剩下 -4y加3y。 等于-y。 通过添加下面等式的左边 到上面方程 的左边， 我们可以消掉x。 我们有x和-x。 这对我们来说很好。 那么我们在右边做什么呢？ 我们已经说过， 方程两边必须加上相同的东西。 我们可能会说， 如果我要在两边加上 同样的东西， 也许我要在这一边加上 -x+3y。 但这对我们没有多大帮助。 我们得到-18-x+3y。 我们本应该在方程的右边 引入一个x， 但是如果我们可以加上一个 等价于-x+3y的值 而不引入x变量呢？ 我们知道数字11 等于-x+3y。 我们是怎么知道的？ 第二个方程告诉我们的。 再一次，我要做的是在上面的方程两边 加上同样的东西。 在左边，我把它表示为-x+3y， 但是第二个方程告诉我们 -x+3y 等于11。 引入第二个约束条件， 让我们添加11到右边， 同样地，我知道我在一直重复它， 它和-x+3y是一样的。 -18加11 等于-7， 因为我们两边都加一样东西， 仍然相等， 我们得到-y=-7， 或者两边同时除以-1 或者两边同时乘以-1。 两边同时乘以-1。 我们得到y=7， 所以我们有满足这两个条件的 （x，y）的y坐标。 现在我们怎么求x呢？ 我们可以把y=7 代入其中一个。 当y=7时，不管用哪个方程 得到的x都是一样的。 让我们用上面的方程。 我们知道x-4乘以， 不写y， 我写4乘以7 因为我们要算出当y等于7时 x是多少？ 它等于-18， 让我们看一下，-4或者4乘以7。 这是28。 让我看一下，我可以解出x， 我可以两边都加上28， 所以两边都加上28。 在左边， 是-28+ 8，它们消掉了。 只剩下x 在右边， 我得到-18加28等于10。 就是这样了。 我有满足这两个条件的一对x，y。 x等于10。 y等于7。 我可以写在这里。 我可以把它写成坐标。 我可以把它写成（10，7） 注意，我刚才做的， 我鼓励你们。 这里代入y=7， 也会得到x=10。 无论哪种方法，你都会得到x=10， 为了直观地看到这里发生了什么， 让我们快速地直观地看一下。 让我画一些坐标轴。 哎呀，我本想画一条更直的线。 好了， 假设这是y轴， 这是x轴， 这是我们的x轴， 然后，让我们看一下， 上面的方程是这样的。 大概是这样的， 下面的方程 大概是这样的， 让我画得更好一点。 它看起来像这样， 像这样。 让我在这里画下一个 所以你可以看到交点， 所以这里的交点， 这是一对满足这两个方程的 （x，y）， 我们刚才看到的， 当x等于10， y等于7时。 这条白线，就是所有满足上面 这个方程的 x和y。 这条橙色的线， 就是满足这个橙色方程的所有x和y， 在它们相交的地方， 这个点在两条直线上。 它满足两个方程， 同样地，取x=10， y=7。 把它代回这两个式子中， 你会发现它是成立的。