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消元法解方程组:x-4y=-18 和 -x+3y=11

视频字幕

我们有一个由两个线性方程组成的 方程组。 第一个方程,x-4y=-18, 第二个方程, -x+3y=11。 现在我们要做的是找到满足 这两个方程的一对x和y。 这就是解方程组的意义所在。 正如你可能已经看到的, 有很多对x和y 满足第一个方程。 事实上,如果你要把它们画出来, 它们会形成一条直线, 还有很多其他的x和y 能满足另一个方程, 第二个方程, 如果你要把它们画出来, 它会形成一条直线。 如果你找满足这两个条件的一对x和y, 就是这两条直线的交点, 让我们来算一下。 实际上,我要重新写一下 第一个方程, 我要写 x-4y=-18。 我们已经在代数中看到过 只要等式两边 做同样的事, 就能保持等式的相等。 那么如果我们要加数字, 我们的目标是消去一个变量 那么我们就有一个方程有一个未知数, 那么如果我们把这个-x+3y 加到左边呢? -x+3y, 看起来不错, 因为一个x和-x会消掉, 我们剩下 -4y加3y。 等于-y。 通过添加下面等式的左边 到上面方程 的左边, 我们可以消掉x。 我们有x和-x。 这对我们来说很好。 那么我们在右边做什么呢? 我们已经说过, 方程两边必须加上相同的东西。 我们可能会说, 如果我要在两边加上 同样的东西, 也许我要在这一边加上 -x+3y。 但这对我们没有多大帮助。 我们得到-18-x+3y。 我们本应该在方程的右边 引入一个x, 但是如果我们可以加上一个 等价于-x+3y的值 而不引入x变量呢? 我们知道数字11 等于-x+3y。 我们是怎么知道的? 第二个方程告诉我们的。 再一次,我要做的是在上面的方程两边 加上同样的东西。 在左边,我把它表示为-x+3y, 但是第二个方程告诉我们 -x+3y 等于11。 引入第二个约束条件, 让我们添加11到右边, 同样地,我知道我在一直重复它, 它和-x+3y是一样的。 -18加11 等于-7, 因为我们两边都加一样东西, 仍然相等, 我们得到-y=-7, 或者两边同时除以-1 或者两边同时乘以-1。 两边同时乘以-1。 我们得到y=7, 所以我们有满足这两个条件的 (x,y)的y坐标。 现在我们怎么求x呢? 我们可以把y=7 代入其中一个。 当y=7时,不管用哪个方程 得到的x都是一样的。 让我们用上面的方程。 我们知道x-4乘以, 不写y, 我写4乘以7 因为我们要算出当y等于7时 x是多少? 它等于-18, 让我们看一下,-4或者4乘以7。 这是28。 让我看一下,我可以解出x, 我可以两边都加上28, 所以两边都加上28。 在左边, 是-28+ 8,它们消掉了。 只剩下x 在右边, 我得到-18加28等于10。 就是这样了。 我有满足这两个条件的一对x,y。 x等于10。 y等于7。 我可以写在这里。 我可以把它写成坐标。 我可以把它写成(10,7) 注意,我刚才做的, 我鼓励你们。 这里代入y=7, 也会得到x=10。 无论哪种方法,你都会得到x=10, 为了直观地看到这里发生了什么, 让我们快速地直观地看一下。 让我画一些坐标轴。 哎呀,我本想画一条更直的线。 好了, 假设这是y轴, 这是x轴, 这是我们的x轴, 然后,让我们看一下, 上面的方程是这样的。 大概是这样的, 下面的方程 大概是这样的, 让我画得更好一点。 它看起来像这样, 像这样。 让我在这里画下一个 所以你可以看到交点, 所以这里的交点, 这是一对满足这两个方程的 (x,y), 我们刚才看到的, 当x等于10, y等于7时。 这条白线,就是所有满足上面 这个方程的 x和y。 这条橙色的线, 就是满足这个橙色方程的所有x和y, 在它们相交的地方, 这个点在两条直线上。 它满足两个方程, 同样地,取x=10, y=7。 把它代回这两个式子中, 你会发现它是成立的。