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主要内容
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方程组的解:相容与不相容

视频字幕

下面这个线性方程组 是相容还是不相容的呢? 题目给了两个方程, x 加 2y 等于 13, 3x 减 y 等于 -11。 要解这道题, 先要明白相容和不相容是什么意思。 方程组至少有一个解,它就是相容的。 而不相容的方程组呢?很显然, 它就没有解。 如果我们考虑图像, 相容方程组的图像应该是什么样的? 我来画一张草图。 这是 x 轴,这是 y 轴。 如果我有两条不同的直线,它们相交, 这就是相容的。 这是一条直线, 这是另一条直线。 很明显这是一个解, 就在它们的交点处, 这就是相容方程组。 另一种相容方程组, 是这样,两条直线重合, 这样它们就有一大堆交点, 实际上是无穷多交点。 一条直线是这样, 另一条直线与它重合。 完全重合。 它俩在线上的所有的点都相交, 所以也是相容的。 不相容的方程组是没有解的。 我再来画一个坐标系。 我要画个没有解的, 如果在二维平面上 有两条直线没有解,即不相交 那只有一种情况, 它俩平行。 所以一条直线是这样, 然后另一条直线应该有相同的斜率, 但位置不同, y 截距是不同的, 应该是这样。 不相容方程组的图像应该就像这样, 是平行线。 这就是不相容的。 我们可以画个草图, 把这两条线画出来,看看是否相交, 另一个办法,可以看它们的斜率, 如果它们斜率相同,但 y 截距不同, 那么这就是不相容的方程组。 但我还是喜欢画图。 这是 x 轴,这是 y 轴。 这里是 x,这里是 y。 有很多方法来画图, 最简单的是找到两个点, 每个方程找到两个满足它的点, 两点确定一条直线。 对于第一个,我们先来列个表, 这是 x 和 y。 当 x 等于 0,那么有 2y 等于 13, y 就等于 13/2,也就是 6 又 1/2, x 等于 0 时,y 等于 6 又 1/2。 我画在这里, 这是 0,13/2。 我们看看 y 等于 0 的情况。 当 y 等于 0,2y 就也是 0。 x 就等于 13, x 等于 13。 我们又找到点 13,0。 这是 0,6 1/2 这是 13,0 这里差不多。 我们估计一下——13,0 上面的这条线, 这条线表示了这个方程。 我试着画一画, 它大概是这样。 我们再来看另一个。 来看另一个。 我们还是做个小表格,x 和 y, 还是找两个点。 当 x 等于 0 时,3 乘以 0 为 0, 所以得到 -y 等于 -11 那么 y 就等于 11。 我们找到一个点 0,11 大概在这里。 点 0,11 在这条线上。 当 y 等于 0 时,3x 减 0 等于 -11, 也就是 3x 等于 -11, 两边除以 3, 得到 x 等于 -11/3。 也就是 -3 又 2/3, 当 y 等于 0 时,x 等于 -3 又 2/3, 这里大概是 6,所以 -3 又 2/3 大概在这。 这就是点 -11/3,0。 所以第二个方程大约是这样, 大约是这个样子。 这样很明显了 ——就算是我手画的,很不精确—— 很明显它俩是相交的。 它们的交点在这里。 要回答这道题, 你都不用找到它们的交点, 你只需要看, 很明显它俩相交。 所以这是相容的方程组。 有一个解。 有一个解就是相容的。 所以这是相容的方程组。