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方程组的解:相关与独立

 相关的方程组有无数个解,  而独立的方程组只有一个解。下面我们看一个例子来分析这个方程组是相关还是独立的。 Sal Khan蒙特雷科技大学 创建

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下面这个线性方程组 是相关的还是独立的? 他们给了我们两个等式 在解决这个题之前 我们来稍微复习一下 相关和独立是什么意思 实际上,我会把这个和有解与无解作比较 我们就从这开始 如果我们面对的是平面的线性方程 那这些线或者等式之间 只有三种可能的关联性 我来把这三种可能画出来 我来画三个坐标系 这是我的第一个x轴和y轴 我再画另一个 这是x这是y 我再画一个 因为 二维平面一共有三种可能 在线性方程里我们有x和y 第一种情况 是线交于一点 我来画一下 一条线可以这样 然后另一条线可以这样 然后他们交于一点 第二种情况 两条线相互平行 在这种情况下 我来画一下 一条线可以这样 然后另一条线有着同样的斜率 但是被平移过的 它有另一个y轴上的截距 也许长这样 然后两条线没有交点 第三种情况 他们就是同一条线 也就是说 两条线有着同样的斜率和同样的y轴截距 所以他们就是同一条线 他们的交点有无数个 每一条线上的每一个点 都是另一条线上的同一个点 这里我来给你们引入一个术语 我们在上个视频也学过了 这种系统 他们不相交 也就是没有解 这就叫无解系统 根据定义 或者 考虑无解的反义词 这两个系统 都是有解的 但在有解系统里 也存在着一些不同 这里我们只有一个解 两条不同的线相交于一处 但这里他们其实就是一条线 所以我们要区分这两种情况 我们管这个叫独立 管这个叫相关 所以独立意味着两条线完全不一样 他们彼此之间没有任何关系 他们不是同一条线 他们仅仅是在某一点相交了 而相关则意味着他们就是同一条线 一条线上的任何点也会同时满足另一条线 能满足一个等式的任何一个点 也会同时满足另一个等式 所以综上所述 我们来看看这个线性方程组 是相关的还是独立的 所以这道题已经帮我们假设了 这个方程组将会是有解的 也就是说他们不是相交于一点 就是相交于所有的点 做这道题最简单的方法就是 我们已经有了这个第二个等式了 它已经是截斜式方程的格式了 我们知道斜率是-2 然后y轴的截距是8 我们把第一个等式也转化乘截斜式方程的格式 然后来看看它的斜率和截距是否与等式二不同 还是他们就是一条线 这里是 4x + 2y = 16 我们可以在两边同时间=减去4x 从而达到让等式左边只有y 让我们在两边减去4x 等式左边就剩下2y 等式右边就变成了 -4x + 16 我把-4写在16前面吧 于是我们就得到了标准的截斜式方程格式 现在我们要在等式两边同时除以2 所以等式左边就只剩y了 两边都除以2 于是我们得到y等于 -4除以2是-2 所以是-2x 再加上16除以2是8 我这里就是对上面这个等式做了一些代数之间的换算 所以我求出了y的解 它就是这个等式 它和第二个等式一模一样 他们的斜率一样 都是-2 他们的y轴截距也一样 都是8 我可以把他们画出来 这是我的x轴 这是我的y轴 他们的y轴截距都是8 然后他们的斜率都是-2 所以他们看起来应该是这样 我就大致地画一下 他们看起来应该是这样 这也许是这个等式的图像 这第一个等式 然后第二个等式将会有一模一样的图像 它有着一样的y'轴截距 和一样的斜率 所以很明显这两条线是相关的 他们有无数个共同的点 因为他们就是同一条线