消元法解方程组：苹果和橙子

你去水果摊买东西。 前面有个人 花十元钱买了五个苹果和四个橘子。 你花十一元钱买了五个苹果和五个橘子。 我们能否 用这些信息及 二元联立线性方程求出每个苹果及橘子的价格？ 如果行，答案是什么？ 如果不行，原因是什么？ 要求的是每个苹果 及橘子的价格。 需要用合适的字母来代表未知的量， 即每个苹果及橘子的价格。 这里用 x 来代表 每个苹果的价格。 用 y 来代表每个橘子的价格。 我们来描述一下 前面那个人的情况。 他买了五个苹果。 他买苹果花了多少钱？ 五个苹果乘以每个苹果价格 x 元， 所以五个苹果一共 5x 元。 而还买了四个橘子。 四个橘子乘以每个橘子价格 y 元。 所以买橘子花了 4y 元。 所以一共是 5x + 4y, 已知是10元。 这等于10元。 现在再说你， 也买了五个苹果。 每个苹果价格 x 元。 所以 5 乘以 每个苹果的价格 就是你花在苹果上的数额。 而你又买了5 个橘子， 要花 5 乘以每个橘子 的价格 y ， 就是你花在橘子上的数额。 这是你花在两种水果上的总额， 已知是11元。 我们能否解出 x 和 y 吗？ 看起来行。 注意这里的要点是， 在这两个方程里 x 和 y 的系数 的比例不同。 这样我们可以得到些信息。 如果这些比例一样， 这里也是 5x + 4y， 而这里的数字不同，就要有麻烦。 因为我们买同样比例的水果， 而花了不同的金额，就不合理。 两个方程里水果的比例不同， 对解答是有利的。 下面我们具体来解。 先让人注意的是， 两个方程都有 5x 。 所以如果这两个方程相减， 就把 x 未知数消元了。 我先把下面这个 方程两边都乘以负一。 它变成 -5x - 5y 等于 －11。 然后我把这 两个方程相加。 这么做的道理是 方程两边做同样的运算后依然成立。 已知这些等于那些。 所以我把它们分别加到方程两边。 在左边，我看到 5x - 5x 。 这两项抵消了。 还有 4y - 5y 。 得到 －y 。 右边等于 10 减去 11。 得到 －1 。 两边都乘以 或除以 －1， 就得到 y = 1 。 这样我们可以算出 橘子的价格。 每个橘子 1 元。 这项等于 1。 现在来算苹果的价格。 我们可以随便用哪个方程都行。 这里用第一个方程。 就是前面那个顾客的情况。 他以每个苹果 x 元的价格买了 5 个苹果， 加上以每个橘子 1 元的价格买了 4 个橘子，一共花了10元。 所以有 4 元花在橘子上。 方程两边各减去 4， 左边的 4 乘以 1 减去 4 等于 零。 左边只剩下 5x 。 右边是 10 减去 4， 等于 6。 现在我们可以把方程两边都除以 6 以解出 x 。 刚才说错了。 我们可以把方程两边都除以 5 以解出 x 。 我今天工作的时间长了些， 脑子反应慢了。 除以 6 的话， 只能得到 5／6 的 x 。 我们要解的是 x 。 把方程两边都除以 5 ，解出 x 等于 6／5 元。 x 等于 6／5 元， 就是 1 又 1／5 元。 或者说 1元 2角。 橘子每个 1 元，苹果每个 1 块二。 结论是从题目的已知条件我们可以确定 苹果和橘子的价格。