写出线性方程式的所有形式

一条直线过点(-3, 6)和点(6, 0)。 求这条直线的方程，分别用点斜式、 斜截式和标准式来表示。 解题思路是这样的， 同一方程只有这三种形式来表示。 如果你给我其中的一种形式，我就可以通过对它进行各种变换 来得到其他两种形式。 我来科普一下这些形式吧，点斜式， 假设有点(x1, y1)， 为直线上一点。 当这里有一个小角标时，假如 直接用x表示，就代表我们在讨论 一个变量，它可以是任何数值。 如果x带一个小角标1然后一个y 带一个小角标，表示是特定数值的x和 一个特定数值的y，或者说一个特定的坐标。 你在我们做例题的时候就会看到了。 但点斜式是这样的，已知某一特定点， 并且已知直线的斜率， 那么这条线的点斜式就是 y - y1 = m * (x - x1)。 举例说，我们在本视频也会做的， 点(-3, 6)在直线上，那么我们就可以说 y - 6 = m * (x - -3)， 后面这部分就等于x + 3。 这就是特定的x和特定的y。 可以是-3和6。 这就是点斜式。 斜截式就是y = mx + b， m还是代表斜率，b是y截距——也就是 当直线和y轴的相交时，即当x为0时 y值是多少？ 标准式就是ax + by = c。 这两个只是数字而已。 没有任何关于图像的 直观表达。 那么我们一起来做吧，把这些形式都写出来。 首先我们要求斜率。 知道斜率以后，点斜式 就非常非常非常直接易得了。 复习一下，斜率，也就是m， 等于y的变化除以 x的变化。 y的变化是多少? 如果把这个当成终点，我们可以假设 从这里到这里， y的变化是多少？ 这是终点，也就是0，y在0 而之前在6。 所以y终点是0，起点是6。 x的终点在哪里，或者说x坐标是多少？ 终点的x坐标是6。 我要讲清楚了，我不希望你混淆了。 这个0，就是这里这个0。 然后这个6，就是y的起点， 就是这个6。 然后终点的x值——也就是这个6， 或者说这个6——我们要从 起点的x值里减去它。 起点的x值在这， 这个-3。 要确保我们知道自己在做什么， 这个-3就是这里这个-3。 我的意思是，从这个点到那个点， y就减少了6，对吧？ 从6到0。 y减少了6。 即0减去6就是-6。 这是说得通的。 y减少了6。 从这个点到那个点， x的变化是什么呢？ 从-3到6，就是增加了9。 如果计算以下，0减去-3， 也就是6加上3，就是9。 那-6/9等于多少？ 简化之后，就是-2/3。 将分子和分母都除以3。 这就是斜率，-2/3。 我们差不多可以把点斜式写出来了。 我们有一个特定的点，可以选择任意一个， 我会选(-3, 6)。 然后需要斜率。 我们来写一下点斜式。 我们要做的其实就是y减去—— 我们可以取任意一个点，我选了这个—— y减去这个y值，y减去6等于 斜率，也就是-2/3乘以x减去 x坐标。 x坐标，x减去x坐标是 -3，x减去-3，做好了。 我们可以简化一下。 可以写成y - 6 = -2/3 * x。 x - -3也就是x + 3。 这就是点斜式了。 现在，我们可以直接进行代数变形 把它转换为斜截式。 我们来做一下。 我用橙色来做斜截式。 我们要写斜截式了。 我们可以怎么简化这个方程呢？ 我们可以将-2/3进行变形， y减6等于——我将 -2/3分配出来——-2/3乘以x是-2/3x。 然后-2/3乘以3是-2。 现在我们就可以写斜截式了， 我们只需要两边都加上6，这样就去掉了 左手边的去掉了，所以等式两边 都加上6。 等式左边，就剩下 一个y了，这两者相互抵消了。 得到y = -2/3x。 -2加上6就是加4。 所以你就得到了，斜截式， mx + b，这就是y截距。 最后我们要做的是 标准式。 我再说一遍，其实就是对这个方程做代数变形 使得x和y都在 等式的同一边。 那么等式两边都加上2/3x。 那么就开始吧。 y = -2/3x + 4，这就是 斜截式了。 然后加上2/3x，所以等式两边 都加上2/3x。 这样做的原因是去掉 右手边的这个2/3x，这个-2/3x。 那么等式左边——我写得太挤了， 应该松散一点的—— 等式左边是什么？ 是2/3x，2除以3x，加上这个y， 这就是左边，等于——这两者相互抵消了—— 等于4。 所以这个，就是标准式了， 这就是方程的标准式。 如果想让它看上去更整洁，不带分数的话， 我们可以将等式两边 都乘以3。 如果这样做了，得到多少？ 2/3x乘以3就得到2x。 y乘以3是3y。 然后4乘以3是12。 这两个其实是一样的方程， 我只不过将每一项都乘以3。 如果在左边进行了某项操作，那就必须对 右边进行相同的操作—— 然后就得到了标准式。