点斜式导论

我这里画出的黄色的是一条线 假设关于这条线，我们知道两个信息 我们知道它的斜率为m 我们知道点a,b位于线上 我们要解答的问题是 我们能否用上面给出的信息 写出描述直线的等式 让我们解答一下 任何一个在该线上的点，或者任何线上的一个x,y 都应该满足这个条件： 这些点之间的斜率-- 我们假设这个是点x,y 它是线上任意的一个点-- 它在线上这个事实表明 点a,b和点x,y之间的斜率必须是等于m 让我们利用这个信息来构建我们的等式 那么，点a,b和点x,y之间的斜率是多少？ y值的变化-- 记住斜率是y值的变化除以x值的变化 让我们写出来 斜率是y值的变化除以x值的变化 这个三角形的符号，希腊字母Delta 代表着变化量 y值的变化--我们看一下 如果y值起始于b， 它结束于这里的一个任意的点y 这里的y值的变化量是y-b 我们用同样的颜色写出来 它就是y减去橙色的b 它除以x值的变化量 同样的逻辑--我们的x值起始于a 结束于任意的点x 无论这个x点在哪里 所以x的变化量等于是 终点减去起点--减去a 我们得到了这个就是这两个点之间的斜率 这就是线上任何两点之间的斜率 它应该等于m 这个等于m 所以，这里我们所作的， 实际上是建立了一个等式来表达这条线 它可能不像你以前看到的样子 但是这个等式描述了 任何的点x,y，只要满足这个条件 就会是在线上，因为任何的x,y, 要是满足这个条件 那么点x,y 在这里 和点a,b之间的斜率，将会等于m 让我们把它转换成 我们更容易识别的形式 先抄到这里 为了稍微简化一下，或者 至少在分母中去掉x-a 我们将两边同时乘以x-a 如果我们将两边同时乘以x-a 乘x-a到左边，乘x-a到右边 我们加上括号 我们将两边同时乘以x-a 这里x-a除以x-a 得到1 然后在右侧， 得到m乘以x-a 所以整个等式简化成 y-b等于m乘以x-a 这个形式，数学家们将之 称作点-斜率形式 所以，这里的这个点-斜率形式等式， 就是对该线的描述 现在，为什么它被称之为点-斜率形式？ 这个很容易想到 看，这个是绿色线的斜率 这里是线的斜率 我们可以将两个点代入进去 如果点a,b在线上 我们会得到：斜率乘以x-a将等于y-b 现在，让我们看一下为什么这个等式很有用 或者说，为什么人们喜欢用它 我们不要再用点a,b和斜率m了 我们用些实际的例子 比如说，有人说某条线， 它的斜率是2 这条线通过点-7，5 所以，很快的，你可以使用这个信息 和点-斜率形式 来写出这种形式 你可能会说， 等式包含这个点，斜率是y-b 也就是5 -- y减去线上这个点的y坐标 等于斜率乘以 x减去线上这个点的x坐标 所以，x减去-7 像这样，我们写了一个等式， 其斜率为2，并且 包含这里这个点 如果我们不喜欢这里这个x减去-7 我们很显然可以将它改写为x+7 但是，这个只是纯粹的点-斜率形式 如果你想简化一些 你可以写成y-5等于2乘以x+7 然后，你可以将之视为描述这条线 的等式之一--还有很多其他的 我们最熟悉的是 y截距形式-- 这个可以很容易地转化为y截距形式 我们只要分配这个2 得到y-5等于2乘以x+2 所以，等于是14 然后我们将这个通过将两边加上5来将 -5挪到左边 然后我们左边剩下y 右边是2x加上19 这个就是斜率截距形式 其中有斜率，和y截距 所以这就是斜率-截距形式 所以这里这个是点-斜率形式