点斜式&斜截式方程

如果说我们有一个直线方程， 我们知道当它的X值等于4， 它的Y值就等于9， 然后我们在这里的xy平面上标出了这个坐标。 我忘了标记x轴了。 如果我们同时还知道， 当X = 6， Y = 1。 我们也标出了这个坐标。 这条绿色的直线代表了这个直线方程 所有的解。 本期视频我想 告诉大家的是，我们既可以用 点斜式来表达这个方程， 也可以用斜截式来表达。 在这里像平时一样，我非常欢迎你 先暂停视频看看自己能不能完成我刚说的任务。 我们先来考虑点斜式。 点—— 点斜式。 点斜式的表达式其实很容易得到。 如果你知道直线上的一个坐标点， 或者如果你知道任意一点的 X，Y值满足题目里直线方程， 只要你再知道直线的斜率， 你就可以得到直线方程的解。 我们确定已知了两个满足解集条件的 点坐标，这两个点坐标 就在直线方程的解集之中。 想要完成我们的点斜式表达式， 我们只需要再求出斜率就可以了。 我们怎么做呢，我们可以直接算一下， 这两个已知坐标之间的斜率是多少呢？ 我们只需要能回忆起， 直线的斜率等于 纵坐标的差除以横坐标的差。 有时候人们会说“纵标差比横标差”。 那么结果是多少呢？ 我们看这里是第二个点， 如果我们说， 如果我们从这里的点出发到达这个点， 那么我们从这个坐标到那个坐标 纵坐标的变化 就等于 1 减 1 减 9， 1 减 9。 这里的坐标是(6, 1)。 所以我们从Y = 9出发， 到Y = 1结束， 我们纵坐标的差就是1 减 9。 我们纵坐标差是-8， 没啥问题。 我们往下移动了8个单位。 所以纵标差就是 纵标差就是 -8。 这是我们纵坐标的变化。 那么横坐标变化呢？ 我们从X = 4 变化到 X = 6， 在X = 6结束， 从X = 4出发。 我们从X = 4出发， 所以我们横坐标的变化是6 减 4， 也就是2。 等于2。 你甚至可以直接从图中看出来。 从这个点到这个点， 你纵坐标变化 是往下移动了8个单位。 所以你，让我写下来， 所以你纵坐标的变化就等于-8。 那么横坐标呢？ 同样的，从那个到达这个点。 你横坐标的变化是正2。 所以横坐标差是2。 所以你的斜率是多少呢？ 横标差比纵标差。 -8 / 2 = -4。 所以现在我们 求出了斜率， 我们还知道1个， 事实上是2个线上的坐标， 我们就可以用点斜式来表达这个方程。 让我们来写一下。 我一直比较喜欢直接从 斜率的定义来往下一步进行。 我们知道这条直线上任意两点之间的斜率 都是-4。 所以如果我们取线上任意一个纵坐标， 然后计算出这个纵坐标和， 我们来用这边这个点。 如果我们找到那个纵坐标和 这个纵坐标Y = 9之间的差， 用这个差除以那个横坐标 和这个横坐标X = 4之间的差。 这个式子就等于线上任意一个坐标点 和这个点之间的斜率。 同时线上任意两点之间的斜率 都是恒定的。 所以这就是我们这条直线的斜率。 等于-4。 这个式子还不是， 至少目前还不是点斜式。 要得到点斜式，我们直接在等式两边分别乘X 减 4。 所以我们得到Y 减 9， Y 减 9等于我们的 斜率，-4， 乘以X 减 4。 X 减 4。 现在这个式子就是 我们的经典点斜式啦。 我们有点坐标， 有时候他们甚至会写个括号， 不过我们其实可以分辨出这个点斜式 里面的那个线上点坐标。 这个在线上的坐标点的 坐标值可以让等式两边都等于0。 所以这个点就是X = 4，Y = 9， 也就是我们上边这个点， 然后这里是斜率， 也就是-4。 那么现在我们可以通过这个式子 得到方程斜截式的表达式吗？ 这里我帮助大家回忆一下斜截式， 是Y = MX + B的形式。 里面的系数是我们的斜率， 然后这里的常数 可以让我们得到y轴上的截距。 想要从下面得到上面的形式，我们只需要 稍微化简一下这里的数字。 你在这边有Y - 9， Y - 9 等于， 我们把这边的括号打开， 我换个颜色。 我们把-4乘进去。 -4乘以X等于 -4X。 -4乘以-4等于正16。 现在呢，我们希望 左边只剩下Y， 所以我们在两边都加上9。 我们做一下加法。 我们加上9， 等式两边都加9。 等式两边都加9。 在等式左边，我们只剩下了Y。 等式右边呢， 我们得到-4x + 16 + 9 = 25。 就完成啦。 这个式子代表同样的方程，不过 现在是斜截式来表达。 像之前说的，这里的是斜率， 我们现在可以得到纵坐标截距。 要求截距，那么当X = 0的时候， Y就等于25。 我这边的纵坐标轴画得不够高， 但如果我稍微升高一下你就可以看到 这条直线和Y轴 在Y = 25的时候， 在Y = 25时相交。 到这里就成功了，我们把这里的 点斜式成功地 写成了 成功地写成了 写成了斜截式。 点斜式和斜截式。 希望你喜欢本期视频。