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主要内容

斜截式:入门

线性方程的斜截式,y=mx+b,强调了斜率和直线与y轴的交点。观看此视频以了解更多关于它的信息以及例子。

视频字幕

有很多方法可以 表示一个直线方程。 比如,你有一个直线方程 y 等于 2x 加 3, 这本身就是一种形式, 但我还能用无限多种形式来表示它。 我们看,我可以 两边同时减 2x, 我可以写成 -2x 加 y 等于 3。 我可以任意变形, 形式怎么变都可以, 整个方程仍然可以保持不变。 y 减 5 等于 2 乘以 x - 1。 你来化简这个式子, 就会得到这个方程, 或者上面这个方程。 它们都是等价的, 你可以用代数运算 从一个方程变形到另一个方程。 可以有无数多种形式来 表示同一个直线方程。 但在这个视频中, 我们关注的就是这个形式, 因为这是一个非常好用的 直线方程表示形式, 我们以后会看到,这两种形式也很有用, 取决于你需要关注什么, 但今天我们只谈这个形式, 这种形式叫做斜截式, 斜率-截距-形式。 希望在后面的几分钟内, 我能给你讲清楚 为什么要叫斜截式这么古怪的名字。 在讲之前,我们先来画图。 画出它的图像, 先找到一些点, 选择一些 x 值, 要很容易能计算出 y 值的。 最简单的就是, x 等于 0, 当 x 等于 0, 2 倍的 0 还是 0, 这一项就没了, 只剩这一项, y 就等于 3。 y 等于 3。 我们来画出这个点, 在坐标系中画出这个点, 这是 y 轴, 然后我要画 x 轴, 这就是 x 轴, 实在不够直,手残党。 这就好多了, 好,这是 x 轴, 我来标记一下, 这是 x 等于 1, x 等于 2,x 等于 3, 这是 y 等于 1, y 等于 2,y 等于 3, 我可以继续标下去, 这是 y 等于 -1, 这是 x 等于 -1, -2, -3, 然后继续下去。 这个点,(0,3) 就是 x 等于 0,y 等于 3, 那么这个点,就表示 当 x 等于 0 时, y 等于 3,这个点。 位置就在 y 轴上。 如果有一条直线过这个点, 这个点在这条直线上, 那么这就是它的 y 截距。 我们这样来理解, 它叫斜截式, 就是因为这个形式很容易 看得出它的 y 截距。 当它写成这个形式, y 截距直接就出现了, 当 x 等于 0 时, y 等于 3 就是这个点,就是它的 y 截距。 从这个形式, 很容易就能看出 y 截距。 你可能会说, 它叫斜截式,那么这个形式 应该也很容易得出它的斜率吧。 正确! 你都会抢答了。 马上我们就来说这个, 先多画出几个点, 我们让 x 一格一格增大, x 一格一格增大, 我们就可以写成 delta x, 即 x 的变化量,希腊字母 delta 这个小三角就是希腊字母 delta 表示变化量。 x 的变化量是 1, 我们每次将 x 增大 1, 那么 y 相应的增大多少? y 的变化量是多少? 好我们看,x 等于 1 时, 2 乘以 1 再加 3, 等于 5, 那么 y 的变化量为 2。 我们再走一步, 再把 x 增大 1, x 的变化量还是 1, 我们增大 1, 也就是把 x 从 1 变为 2, 相应的 y 的变化呢? 当 x 等于 2 时, 2 乘以 2 等于 4, 再加 3 是 7。 y 的变化量为 2。 从 5 变为—— 当 x 从 1 增大到 2, y 从 5 增大到 7。 因此我们每将 x 增大 1, y 就增大 2。 因此对于这个直线方程, y 的变化量除以 x 的变化量 总是等于—— x 变化量为 1 时,y 的变化量为 2, 因此总是等于 2, 也就是说我们的斜率是 2. 我们在图像上加深一下理解。 当 x 等于 1,y 等于 5, 我们得把 5 标出来, 当 x 等于 1,y 等于—— 这里还需要再高一点, 把这里修改一下, 这里就是—— 我再擦掉一些, 好了, 这里就是 y 等于 4, 这里是 y 等于 5。 当 x 等于 1,y 等于 5, 就是这个点。 这条直线就是这样, 只需要两个点就能确定一条直线。 这条直线应该是这样, 我得换一个颜色, 我这条直线, 就是 就是这个样子。 我试着画出来, 我画的比例可能有点不太对, 但大致上就是这个样子。 这就是这条直线, y 等于 2x 加 3 这条直线。 而我们已知它的斜率是 2, 当 x 的变化量为 1, 当 x 的变化量为 1, y 的变化量为 2。 当 x 的变化量为 -1, 那么 y 的变化量为 -2。 图中可以看到, 我们从 0 开始 从 0 到 -1,x 减了 1, y 会变成多少呢? 2 乘以 -1 等于 -2 再加 3 等于 1, 我们可以看到, 点(-1,1)也在直线上。 所以斜率, 即 y 与 x 变化量之比, 直线上任何两点的变化量, 一直就等于 2。 但是,你在原来的方程中能看见 2 吗? 没问题,2 就在这里。 当你用斜截式来写直线方程, 明确的用其他部分表示 y, 即 y 等于某系数乘以 x 的一次方, 再加某个常数, 第二项就是 y 截距, 也就是说你能通过第二项, 找到直线与 y 轴的交点, 而这个 2,就是直线的斜率。 这很合理, 因为每当 x 增加 1, 都要乘以 2, 也就是 y 会增加 2。 这是你对斜截式这个概念 的第一次试水, 但你可以看到,至少是对我而言, 这是最简单的能直接想到图像的形式, 因为比如再有一个 比如再有一个直线方程, y 等于 -x 加 2。 你马上就能说, 我知道,直线与 y 轴的交点是(0,2), 所以直线会经过 y 轴上的这个点, 然后我还知道斜率, 第一项的系数就是 -1, 所以斜率是 -1。 所以 x 每增加 1, y 都会减少 1。 x 增加 1,y 就减小 1。 如果 x 增加 2,y 就减小 2。 所以这条直线就是这样的, 我看我能不能画的好看一些, 直线就是这样, 我要画的更好一些, 我更希望用手画, 但我相信你们都明白意思, 明白就好。 这条直线应该就这样了。 因此,斜截式这种形式 能非常容易看出 y 轴截距, 也非常容易看出斜率。 这里的斜率就是 -1, 这里就是 -1, 而 y 轴截距,即与 y 轴的交点, 是 (0,2)点, 直接就可以得出, 因为这个式子直接给出了信息。