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主要内容

双变量线性方程的介绍

了解一种有两个变量的被称为"线性方程"的方程。因为它们的图表是一条直线,所以被称为线性方程。线性方程是最基本的,也是十分有用的方程。

视频字幕

- [画外音] 在这个视频中,我想给你们介绍 线性方程这个概念 一开始 我们先看几个线性方程的例子 比如方程 y=2x-3 这就是一个线性方程 为什么我们叫它线性方程呢? 如果你取所有 满足该方程的点的集合 然后在平面坐标系上把图作出来 你就会得到一条直线 这也是为什么我们叫它线性方程 让我们来具体看看这个命题 我们取一些满足这个条件的 x值与y值 看它们是否真能构成一条直线 我要挑一些 容易计算y值的x的值 如果x=0 y=2×0-3 结果等于-3 作它对应在坐标系上的点 沿x轴方向移动距离为0 即水平移动为0 纵向向下移动3个单位 即沿y轴方向向下移动 就是这个点了 如果x=1,那对应的y等于多少呢? 2×1=2,2-3=-1 所以x轴方向向右移动1个单位 y轴方向向下移动1个单位 那x=2的时候,对应的y值是多少呢? 2×2=4,4-3=1 当x=2时,y=1 希望你现在已经 找到感觉了 我也鼓励你 暂停视频 自己试着算算x=3或-3的情况 你会发现这些点构成了一条直线 实际上,如果把这些点连起来 你就能看到我说的这条直线了 我来试试能不能图作出来 我要用这里的直线作图工具 把这些点尽可能清爽地连起来 这就是了 我刚作的这条直线 就是这个图 它就代表y=2x-3这个方程 所以如果你要作出所有满足这个条件的点的图形 你就会得到这条直线 你可能会觉得:等等 你不过试了几个特殊值而已 要是我随便找一些点 还能作出一条直线吗? 刚才我作图取的点 其x值都是整数 你当然可以代入任何可能的x值 这是个很特别的概念 不管你在这里代入任何x值 你都会找到一个符合条件的对应的y值 并且点(x,y)落在这条直线上 比如 我们举个例子 如果我们取 x=-0.5 对应的点还是不是在直线上 如果我们直接看这条直线的话 当x=0.5时 看起来 y=-4 从图上看出这个点就落在这条直线上 我们来验证一下 当x=-1/2时 我要把它写成-1/2 那么对应的y值是多少呢? 我们来看,2×(-1/2) 我直接把它写出来 这就等于 2×(-1/2)-3 2×(-1/2)= -1-3=-4 结果是-4 无论你代入 任何x值 计算出对应的y值 点(x,y)一定会落在这条直线上 这个点对应的x和y值就代表 这个方程的一个解 我换一种颜色来表示 这个点就代表 这个线性方程的一个解 这个点就不是这个方程的一个解 如果ex=5 y不可能等于3 如果x=5,在直线上 我们就能找到对应的方程的解 根据这条直线,当x=5时,y=7 这确实 符合实际情况 2×5=10,10-3=7 这个点 (5,7)在这条直线上 或者说它符合该线性方程的条件 因此如果你取所有满足该条件的点(x,y) 你就会得到一条直线 这就是为什么我们叫它线性方程 刚才这个例子并不是 唯一的线性方程的表达方式 这里我换一种颜色 我们还可以用 另一种形式来表达: 4x-3y=12 这也是一个线性方程 可以看出如果我们作出 所有满足该条件的点(x,y) 我们又会得到一条直线 如果x=0 这部分就等于0 我们就得到了-3y=12 如果-3y=12 y=-4 这个点就是(o,-4) 我们可以进行验证 4×0-3×(-4) 这就等于12 所以 如果y=0的话 方程就等于4×x=12 x=3 因此方程的解就是点(0,-4) 这个点就在这条直线上 该直线上还有(3,0)这个点 (3,0) 对吧? 是的 (0,-4)和(3,0) 这两个点都在这条直线上 (3,0)在这条直线上 这条直线 我要试着把它手绘出来 大概是这样 再说一次 所有满足该条件的点(x,y) 将构成一条直线 或许你会问: “不是所有方程都是线性的吗?” 简单来说 “不是所有方程都是线性的” 我来介绍几个非线性方程的例子 一个 非线性方程 我重新来写一下 非线性方程 比方说 y=x^2 如果作出这个方程的图 它就是一条曲线 就像xy=12 这也不是一条直线 或者5/(x+y) =10 这也不是一条直线 我鼓励你 自己试着作这样的图 这实际上挺有意思的 现在我们看过了线性 和非线性两种方程的例子 我们来看能否为 线性方程下个定义 一种方法是从作图角度来思考 如果你把所有满足该方程的点(x,y) 全部作出来 你就会得到一条直线 这实际上就是线性方程 名称的由来 还有另一种思路 这种方程的 每一项要么是一个常数项 比如这个方程里12就是常数项 它不会因为 变量值的变化而变化,12就是12 -3就是-3 这种方程中的每一项要么是常数 要么就是一个常数与 一个一次变量的乘积 这一项是常数2乘以x的一次项 这是变量y的一次项 你也可以说因为这只是一个y 分母中没有x或者y 我们也没有把它们相乘 方程中没有任何一项包含x的二次项 或者三次项或者y的五次项 方程中只有y的一次项 和x的一次项 我们没有像这个例子一样 把两个变量相乘 因为如果 方程两边 每一项 都是常数项或者是某常数乘以x 也就是x的一次项,或者是某常数乘以y 没有xy相乘的项 那这个方程就是一个线性方程