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主要内容

代数模型的对称性

学会如何解释一个在实用问题出现的图表的对称性。

介绍

在这篇文章中,我们将学习如何在应用题中理解图表的对称性。
首先,让我们先回忆一下什么是方程的对称性。

方程的对称性

完整关于偶数和奇数函数的句子。
当一个方程f的图表与y轴对称时,我们可以说f
。代数上来说,这意味着每个输入值x会导致 f(x)=
当一个方程f的图表与原点对称时,我们说f
。代数上来说,这意味着每个输入值x会导致f(x)=
有一个既不是奇函数也不是偶函数的函数是

现在,让我们来看一个例子。

例题一

弹簧中储存的能量,E(x),单位为焦耳,是一个关于弹簧位移的函数;x,单位为米,从弹簧放松的状态开始,一个正的x代表着一个拉伸的弹簧,负的x代表着一个压缩的弹簧。 y=E(x)的图表如下。
从这个题中,我们可以学到什么关于这个函数的对称性的?

函数E的对称性

让我们应用已知的关于函数E的对称性的信息。
如果你根据y轴来反射函数E,两边会完美重合。
所以,函数E是一个偶函数。代数上来说,这意味这在所有x域上E(x)=E(x)

理解对称性的特征

“所有x域上E(x)=E(x) ”是什么意思?
因为这个句子是对于所有x正确的,我们可以说当x=2x=4x=10,以及更多,E(x)=E(x)是正确的。让我们开始思考当x是一个特定值时,这个句子意味着什么,在这个例子里x=2
x=2,这个句子变成了 E(2)=E(2)
关注每个变量的代表什么可以帮助我们理解。请记住一个的输入值代表了一个拉伸的弹簧,一个的输入值代表着一个压缩的弹簧,而输出值代表着弹簧中储存的能量。
在这种情况下,我们可以说 E(2)=E(2) 代表这 弹簧压缩了 2 米同一个弹簧拉伸了 2 米时有同样的能量
E(4)=E(4) 在这种情况下意味着什么?
选出正确答案:

我们现在可以理解更笼统的说法了,E(x)=E(x),这是我们的最终目标。
使用以上的例子当指导,我们可以发现 E(x)=E(x)代表着这个当这个弹簧被压缩了x米和被拉伸了x米时,能量是相同的。
换句话说:当一个弹簧被压缩或拉伸了同样的距离,它的能量是相同的

反思题

以下的哪个句子代表了一个偶函数的对称性?
选出正确答案:

让我们来学习另一个例子。

例题二

小明通常每天烧20公斤的木头来让他家保持25摄氏度。他尝试调整烧的木头的数量,w代表着他调整的数量。具体的说,一个正的w表示增加了w公斤的木头,一个负的w代表着减少了w公斤的木头。 y=T(w)的图表如下,T(w)代表这小明家温度的变化。

函数T的对称性

函数T的图表是关于原点对称的。
所以,函数T是一个偶函数。代数上来说,这意味这在所有w域上 T(w)=T(w)

理解对称性的特征

为了理解它的对称性,我们需要把数学上说的“所有w域上 T(w)=T(w)“换成普通的语言。
同样,让我们开始思考特定值w的含义。然后,我们可以回去总结。
为了帮助这一点,请记住一个的输入值代表着增加的木材以及一个的输入值代表着减少的木材,以及输出值代表着温度的变化。
所以我们可以说T(1)=T(1) 代表着温度变化是从少烧1 公斤的木头 造成的,并且与多烧了 1 公斤木头的结果是相反的。
现在我们可以理解关于函数w对称性更笼统的说法了。
T(w)=T(w) 在这个上下文中意味着什么?
选出正确答案:

换言之: 增加或减少燃烧同样数量的木材对房屋温度的影响正好相反。

反思题

以下的哪个句子代表了一个奇函数的对称性?
选出正确答案:

推出一个结论

一般来说,为了理解函数图的对称性,以下几步会十分有帮助:
步骤1:确定这个函数是偶函数还是奇函数并理解这在代数上以为着什么。
步骤 2: 了解每个变量在上下文中所代表的内容。
步骤 3: 想出合适使用变量的语句, 并将输出值与对应的输入值进行比较。

自己尝试

小明在学习驾驶一种新型车。这种车的速度是由旋转按钮的位置而决定的。该车的速度,V(x),单位为英里每小时,是一个关于旋转按钮位置x的函数。请注意,当x>0时,表示着按钮被顺时针旋转了x单位,当 x<0时,代表这按钮被逆时针旋转了x单位。
y=V(x)的图表如下。
这是一个偶函数。下面的哪个选项能最好解释函数V的对称性?
选出正确答案:

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