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主要内容
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二元方程组:一条线和一个圆

视频字幕

下面这个方程组的解是什么 y = x + 1 和 x平方 + y平方 = 25 。 我们首先看一下我们试图做什么。 我来粗略地画出这两个方程的图像。 这是我的 y 轴,这是我的 x 轴。 这里 x平方 + y平方 = 25 应该是一个 中心在 0,半径为 5 的一个圆。 你不需要知道怎样求解这个问题, 这个图像可以帮助我们直观地看到它的解。 如果这是 5, 这也是 5。 5,5, 这里是 -5, 这里是 -5。 这个方程能被这些点的集合所表示, 或者说, 这些点的集合满足这个方程。 就是这样。 我力争把这个圆尽量画得完美一些。 而 y = x +1 是一条 斜率为 1 ,y 截距为 1 的直线。 这是 1,2,3,4, y 截距在这里,斜率是 1, 所以应该是这样的。 在我们寻求这个解时, 我们是在寻求那些满足这两者的点。 而满足这两者的点就是在这两条线上的点。 它就是这个点 --我用绿色画出 --它就是这个点 和这里的这个点。 我们怎样才能把它解出来? 最简单的办法就是-- 有时,最简单的办法就是把一个约束条件 代入到另一个约束中去。 因为这里 y 已经有了表达式, 我们可以把蓝色方程中的 y 用 x + 1 代替,就是用这个约束来代替。 原来的 x平方 + y平方 = 25 可以用 x平方加 --就是不写 y, 我们加上这个约束, y = x +1, 就成为 x平方 + (x +1) 的平方 = 25。 现在,我们就可以求 x 的解了。 我们得到 x平方 加上--现在我们求它的平方。 我们得到-- 我用洋红色-- 我们得到 x平方 + 2x +1 。 它等于 25。 我们有 2x平方 --我把这两项相加-- 2x平方 + 2x + 1 = 25 我们可以用二次公式来找出-- 我们要非常小心-- 我们要让它等于 0,然后 使用二次公式。 我们从两边减去 25, 这样你得到 2x平方 + 2x -24 = 0 我们可以进一步简化。 我们把两边除以 2,你得到 x平方 + x -12 = 0。 实际上,我们甚至不必用二次公式, 这里我们可以做因式分解, 有两个什么数,可以使得当我们把它们相乘, 我们得到 -12,当我们把它们相加,我们得到 +1? +4 和 -3 可以完成这个游戏。 所以,我们有 (x + 4)乘 (x -3)= 0 那么 x 就等于--如果 x + 4 = 0 那就使得 这个方程成立, 那 x 就等于 -4, 或者 x 可以等于 +3。 这里就是 x = -4 的情况, 这里是x = 3 的情况, 我们几乎做出来了,我们只需要找到 相应的 y。 要找出 y ,我们只需要解这里这个最简单的方程 y = x + 1。 在 x = -4 的情况下, y = 它 加 1, 7 = -3。 这就是点 -4,-3 , 同样,当 x = 3,y 就等于 4 这就是点 3,4 , 这就是这个非线性方程组 的两个解。