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主要内容
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视频字幕

在这个视频中,我们将学习多项式除法。 有时,我们叫它代数长除法。 后面,通过例题, 你们会看到它的全貌。 如果我们需要将 2x+4 除以 2。 我们不会改变它的值, 我们只是改变表达这个值的方法。 我们知道怎样来简化它, 我们过去学过的。我们可以把分子 和分母同除以 2。 它将等于什么呢? 它等于 x+2 --我们把它写成这种形式。 它将等于,如果你把它除以 2, 它就是 x 。 把 4 除以 2,它就是 2。 把 2 除以 2,就是 1。 所以 它就是 x+2, 我想,这很简单。 另外的方法就是,把因数 2 提出来, 然后消去它。 但是我还想要你们看看怎样用代数长除法来解决这个问题。 对这个问题,这有点过于繁琐, 但是我想让大家看到 其实,没有原理上的不同, 它只是用一种不同的方法解决问题,但是 对一些更复杂的问题,它就非常有用。 你可以把它写成用 2 去除 2x+4。 这是多少呢? 你可以用与传统的长除法 相同的方法来处理。 来看2-- 你总是要从最高阶的项开始。 用 2 除最高阶项 先不管 4。 用 2 除 2x 等于什么? 2x 除以2 是 x 倍, 把 x 写在 x 的位置上。 x 乘 2 是 2x 。 和传统的长除法一样,现在做减法。 那么,2x+4 减去 2x 是多少? 是 4 ,对吧? 然后,用 2 去除 4, 是多少? 它去除它,2倍,+2。 把它写在常数项这里。 2 x 2 等于4。 做减法,余数为 0 。 这种方法好像有点多余, 对那些你已经知道怎样求解的问题, 你还要分成好几步来做。 我们现在来看一下, 这种方法是一种通用的方法。 你可以用这种方法去求解用任意阶数的多项式 去除另一个任意阶数的多项式。 我现在来做给你们看。 我们要用 x+1 去除 x 平方+3x+6。 我们怎么做呢? 看最高阶项,这里的最高阶项是 x, 而这里的最高阶项是 x 的平方。 先不管其他的项, 这可以大大简化过程。 用 x 去除 x平方,多少倍? x平方除以 x 就是 x ,对吧? 用 x 去除 x 平方得到 x 。 把它写在 x 的位置。 这就是 x 的位置,或者说 是 x 的一次方的位置。 那么,x 乘 x+1 得到什么? x 乘 x 是 x平方, x 乘 1 是 x ,所以,这是 x平方+x。 和我们刚才在这里做的相同,我们现在做减法。 我们得到什么? x平方+3x+6 减去 x平方 -- 我要非常小心 -- 这里要减去 x平方+x。 这里一定要都用负号。 对这里所有的项都是这样。 x平方-x平方 完全消掉, 3x ,这里是一个 -x, 让我把符号写在这里。 这是 -x平方-x ,一定要弄清楚。 我们要对所有的项做减法。 3x 减 x 等于 2x 。 然后,把 6 落下来,或者说,6-0 还是 6。 所以,2x+6。 现在,你找到最高阶的项,x 和 2x。 2x 除以 x 等于什么? 它就是 2 。 2 乘 x 等于 2x, 2 乘 1 等于 2。 我们得到, 2乘 x+1 等于 2x + 2。 我们现在需要把这一行从上面减去。 这里,我们来做减法。 我们不写 2x+2,而要写成 -2x-2,然后把它们相加。 这里两项消掉, 6 减去 2 等于 4。 4 除以 x 等于多少? 我们只能说,等于 0。 我们可以说,4是余数。 这样,如果我们重新写一下,分子是 x平方+3x+6,分母是 x+1, 注意,这和 x平方+3x+6 除以 x+1 是相同的,这些项除以这些项, 现在我们可以说,它等于x+2,它等于x+2 再加 余数除以 x +1,也就是 再加上 4 除以 x + 1。 这里和这里是相等的。 如果你想检验一下,你想从 这种表示变回到那种表示,你可以把它乘以 x+1 分之 x+1,然后两项相加。 这与 x+2 是相同的。 我现在就把它乘以 x+1 分之 x+1, 这其实只是把它乘以 1。 然后加上x+1 分之 4。 我这样做是为了它们有相同的分母。 当你在这里做加法时, 你把两个多项式相乘再加上这个 4, 你就会得到 x平方+3x+6。 让我们再做一个题目。 很有意思的。 我们说,我们想简化 x平方+5x+4 除以 x+4。 再来一次,我们可以做代数长除法。 用 x+4 去除 x平方+5x+4 。 还是完全一样的过程。 先看两个的最高阶项。 x平方除以 x 是多少? 它将是 x。 把它放在 x 的位置, 这里就是 x 的位置, x 乘 x 是 x平方, x 乘 4 是 4x 。 下面,当然我们要从这里 减去这些。 所以,让我在这里写上负号。 然后,它们相消。 5x 减 4x 是 x 。 4 减 0 是 +4。 x+4, 你看它来了, 你可以说 x+4 除以 x+4,很明显是 1。 或者,如果你先不看常数项, 你完全可以说,好, x 除以 x 是多少? 是 1。 + 1。 1 乘 x 是 x, 1 乘 4 是 4。 我们要把它们从这里减掉, 它们相消,没有余数。 这就把它简化为 x+1。 你可以用另一种方法来做。 你可以先把分子进行因式分解, x平方+5x+4 除以 x+4, 这与什么相同呢? 我们可以把分子分解成 x+4 乘 x+1 4 乘 1 等于 4。 4 加 1 等于 5,所有这些除以 x+4 这两项相消,只剩下 x +1。 两种方法都可以,但是代数长除法 总是可以用,就算你不能完全 消掉像这样的因式,有余数存在。 在这种情况下,没有余数。 它等于 x+1 。 我们再来做另一个例题, 只为了让你能真正-- 因为这是一个非常非常有用 的你应该具备的技能。 我们说, 我们有x平方-- 我还是换一个吧。 我们有 2x平方--我可以 让数字大一些。 2x平方-20x+12 除以-- 要不 我们让它更有意思,只是为了让你们看到 它总是可以解决问题。 我要让它超过2次方。 我们有 3x三次方-2x平方+7x-4, 我们要把它除以 x平方+1。 我造了一个题。 我们来做代数长除法, 从而弄明白做的过程 和简化的结果。 用 x平方+1去除 3x三次方-2x平方+7x-4 再来一次,看最高阶的项。 用 x平方 去除 3x三次方 等于什么? 它将是 3x。 用 3x 乘这一项,你得到 3x三次方。 它是它的 3x 倍。 你要把 3x 写在 x 这里。 它是它的 3x 倍,就是这样。 现在,做乘法, 3x 乘 x平方 是 3x三次方,对吧? 3x 乘 x平方 + 3x 乘 1 这里,我们有 3x, 我们一定要把它放在 x 的位置。 下面我们要把它减掉。 我们得到什么呢? 我们做减法会得到什么? 这些消掉了, 我们还有 -2x平方。 还有 7x 减去--这里我们这是减掉 0 -- 7x 减 3x 是 +4x ,还有 -4。 再一次,看最高阶的项。 x平方 和 -2x平方。 用 x平方 去除 -2x平方 得到 -2。 -2 ,把它放在常数的位置。 -2 乘 x平方是 -2x平方。 -2 乘 1 是 -2。 现在我们要把它们从这里减掉。 让我们把它们乘上 -1,或者 说它们变为正的。 这两项消掉, 4x 减 0 就是 --让我改变颜色-- 4x 减 0 就是 4x。 -4 减 -2 或者 -4 加 2 就等于 -2。 然后,x平方,现在它比 4x 阶数高, 它是这里的最高阶,所以我们认为这是余数。 对于这个表达,我们可以把它重新写成 3x-2-- 它是 3x-2 加上 余数 4x-2 , 所有这些 除以 x+1。 希望你们和我一样觉得这很好玩。