更多特殊的乘积的例子

现在我要做几道 关于两类最典型的多项式 乘法的代数习题 第一道题只是把二项式进行乘方 如果表达式为(x+9)^2，我知道你肯定会有冲动 要把它写成x^2+9^2，对吧？ 得说清楚，这可是不正确的 你必须克制住 自己要这样计算的冲动 二项式乘方并不是这样算的 要记住，(x+9)^2= (x+9)×(x+9) 这是二项式与自身相乘 你得记住这一点 想把其中每一项分别计算平方是很容易想到的 但事实并非如此，你必须把二项式展开 现在我们已经把它展开了 就要用到过去学过的内容进行计算了 这里要为你演示我们如何用 上次视频中对三项式相乘用到的技巧来进行计算 我们来计算(x+9)×(x+9)，后面这个用紫红色表示 我这样写是为了让你看清楚 待会儿具体是怎样相乘的 我们现在就开始算吧 9×9=81 把它放在常数项的位置 9×x=9x 然后我们换成这个x项，我们有一个黄色的x x×9=9x 把它放在一次项的位置 x×x=x^2 然后我们把所有的项加起来 就得到了x^2+18x+81 这就等于x^2+18x+81 现在你可能看出一点规律了 我要让这个规律更明显一点 当你对一个二项式进行乘方计算时，会出现什么呢？ 你会有x的平方项 你会有x×x，然后就得到了x^2 你有一个9×9，然后就得到了81 你还有这一项，算完就变成了18x 我们是怎么得到18x这一项呢？ 我们把这个x乘以9得到9x 再用这个9乘以这个x，又得到了9x 然后把两个9x相加，我们就得到了18x 总的来说，无论你什么时候对二项式进行乘方计算 让我来这样计算 我要用非常标准化的方法来做 我们有一个(a+b)^2 我这样相乘 是为了让你更好掌握这个知识点 这就等于a+b再乘以a+b 我把b用绿色写在这里 我们就有了b×b=b^2 我们假设这是常数项 我把b^2写在这里了 我假设这一是个常数项 这可以是个常数 它就与81的实际效果是相同的 a是变量 让我换个颜色来写 我把这个写成(x+b)^2 假设b是常数 这就变成了(x+b)×(x+b)后面这个b是绿色的 假设b是一个常数，b×b是就是b^2 b×x=bx 然后再来算紫红色的 x×b=bx 然后x×x=x^2 当你把所有各项相加的时候 就剩下了x^2+2bx+b^2 所以你刚才看到的计算结果就是 (x+b)^2可以写成 x^2+2bx +b^2 根据这个规律，我们可以做一系列的例题 我要用最快的方法来解题 （3x-7)^2 我们先来回想刚才我都说过什么 不要死记硬背，在你脑海里 你应该知道为什么要这样计算 如果把这个乘出去 就等于用了乘法分配律两次，结果肯定是一样的 所以这就等于3x^2 +2×3x×(-7) 对吧？ 我们知道要用2乘以乘积中的所有项 再加上(-7)^2 如果我们运用乘积的规则 (3x)^2就等于9x^2 这里要把2×3 就等于6，再乘以-7，结果是-42x 然后有一个(-7)^2=49 这是最快的算法了 为了确保我没有算错 我们再用慢的算法算一遍 (3x-7)×(3x-7) (-7)×(-7)=49 -7×3x=-21x 3x×(-7)=-21x 3x×3x=9x^2 我们往左边挪过来一点 再把所有项加起来 就得到了9x^2-42x+49 我们确实得到了同样的结果 再来做一道例题，这次我们用快算法来做 让我找一道 变量多一点的题目 要计算的式子是4x^2+7^2 我们要对它做乘方计算 道理是一样的 这就等于算出这一项的平方，4x^2 再平方，加上2乘以乘积中的各项 2×4x^2×y^2+y^2 这一项再平方 结果等于多少呢？ 这就等于16，4×4=16 x平方再平方，2×2 就是x^4 然后加上2×4×1 妈就是8x^2y^2 然后y平方再平方，就是y^4 现在我们做的是二项式乘方计算 下一个例题我想带你们一起 计算和与差的乘积 这个最后的计算结果其实非常工整 我们就用字母来代替实际数字 计算(a+b)×(a-b) 这个结果等于多少呢？ 首先这个结果等于a×a 我用不同颜色来表示 这就等于这个绿色的a乘以这个紫红色的a a乘以a减去 绿色的a乘以这个b 减号是从这里来的 然后加上 绿色的b乘以紫红色的a 我现在只是把每一项都乘出来 最后减去绿色的b 减号是从这里来的 减去绿色的b乘以紫红色的b 最后结果是什么呢？ 这就等于a^2 -ab 这个就等于ab 再减去b^2 这里的两项互相抵消，-ab+ab 所以你就得到了a^2-b^2 这个结果非常工整 非常简洁 我们就用这个结论来做些二项式相乘的题目 我们有(2x-1)×(2x+1) 道理是一样的 你可以把这个2x+1 看成是a+b，然后把2x-1看成是a-b 这个就相当于是a，b就是这个1 这是b 这是a 算这道题就用我们刚推出的这个规律 结果是什么呢？ 就等于a^2，也就是2x的平方 减去b的平方，也就是1的平方 (2x)^2=4x^2 1^2=1，所以就是减1 结果就等于4x^2-1 我们再乘热打铁 算一道同类型的题目 我们现在关注的是二项式乘法 我们要计算的是(5a-2b) ×(5a+2b) 要记住，这个规律只适用于 一个和乘以一个差的情况 这是这个规律适用的唯一情况 原因我们刚才推的过程中已经解释了 如果你还是不确定，就干脆老老实实全乘出来 只不过多花一些时间罢了 你自己也能看出来其中一些项会相互抵消掉 你不能把这个推论随便用在其他二项式乘法上 比如之前视频中 计算乘法或乘方的题目 运用刚才的规律 我们能看到这个是(5a)^2就等于25a^2 减去4b^2 我们就到此为止 下个视频再会