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更多特殊的乘积的例子

小萨举出多个例子说明两种特殊二项式乘积形式:完全平方以及平方差。 Sal KhanCK-12 Foundation 创建

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现在我来做几个例题 它们都是你以后会遇到的 多项式乘法中最典型的两种类型 准确地说 是在代数中 第一个是二项式的平方 那么如果我们有(x+9)^2 我知道你可能会想 哦 那不是(x^2+9^2)吗? 我会告诉你 不 并不是 你必须抛开一切杂念 来做这道题 它不是(x^2+9^2) 记住 (x+9)^2 这个就等于(x+9) 乘以(x+9) 这个就是二项式乘以它本身的一种乘法 你要永远记住它 它会让人产生一种它是x^2+9^2的错觉 但不是 你必须把它展开 现在我们已经把它展开了 我们可以用上个视频中学到的方法 来把它乘开 我来展示一下 上一次计算三项式乘法的方法 同样可以用来计算这个题目 我们让(x+9) 来乘以x加一个洋红色的9 我这样写是为了给你们展示 我是在用这个9和这个x分别与上式相乘 我们来做一下 那么就是9*9=81 把它放在常数的位置 然后就得到 把这个x换个颜色 就得到了一个黄色的x 把它放在最一阶项的位置 然后我们把这些都加起来 就得到了x^2+18x+81 那么这个就等于x^2+18x+81 现在你可能看出来了一点规律 我马上就会把这个规律讲明白 但是当你把一个二项式平方的时候 会怎样? 这里有 x^2 也就是这个x乘以这个x 得到了一个x^2 这里有一个9*9 也就是81 然后还有这里的这一项 也就是18x 我们怎么得到这个18x的? 好 我们让这个x乘以9就得到了9x 然后我们让这个9乘以x就得到了另一个9x 然后我们把这两个加起来就得到了18x 所以通常 不管何时你碰到了一个二项式的平方 我这样来做 我把它写成一个通用的公式 假设我们有 (a+b)^2 我再用这种方法把它乘起来 为了让你能掌握这种方法 这个就等于(a+b) 乘以a加 我把这里的b写成绿色的 那么就会得到b*b=b^2 我们假设这是一个常数项 我把它也就是b^2放到这个位置 我假设这是一个常数 那么这个是一个常数 这个就类似于我们的81 a是一个变量 我来把这个式子改得更好一点 把这个写成(x+b)^2 我们假设b是一个常数 那么它就是(x+b) 乘以x加上一个绿色的b 那么假设b是一个常数 b*b=b^2 然后我们来做这个洋红色的x 然后x*x=x^2 那么把这些都加起来 就得到了x^2+2bx+b^2 那么你看到的 就是最终的结果了 我们把(x+b)^2算出来 就得到了x的平方 加上2倍的x和b的乘积 再加上b的平方 有了这个规律 我们再来做几个题目 我用一种快捷的方法来做这个题目 那么(3x-7)^2 记住我告诉你的 不要只是记住了 要在你的脑海里 知道它是为什么 如果我把这个乘出来 要用两次分配律 会得到相同的答案 那么这个就等于(3x)的平方 加2倍的3x 再乘以-7 对不对? 我们知道它是这些项乘积的2倍 再加上(-7)^2 如果在这里用一下乘法法则 (3x)^2和9倍的x的平方是相同的 这里的这个 就得到了一个2乘以一个3 也就是6 再乘以一个-7 也就是-42x 然后(-7)^2也就是加49 这就是快捷的方法 为了确保我不是在做一些不靠谱的事情 我再给你用慢的方法做一遍 -7乘以-7就等于正的49 -7乘以3x就等于-21x 3x乘以-7就等于-21x 3x乘以3x就等于9倍的x的平方 把左边留出一点空间 把这些都加起来 就得到了9x^2-42x+49 那么我们就得到了相同的答案 我们再来做一个 用快捷的方法来做 那么如果我们有8x-3 实际上 我来做一个含有更多变量的题目 假设我们有 4x^2+y^2 并且把这个式子平方 好的 相同的方法 这个就等于这一项的平方 (4x)^2的平方 再加上2倍的这两项的乘积 2倍的4x^2乘以y^2 再加上y的平方 这一项的平方 这个会等于多少呢? 这个等于16 4^2=16 x的平方 再平方 也就是2乘以2 那么它就是x的四次方 然后加上 2乘以4乘以1 也就是8倍的x的平方乘以y的平方 然后y的平方 再平方 也就是y的四次方 现在 我们已经做了一些二项式的平方的题目 那下一个我想展示给你的例题是 算一个和式与一个差式的乘积 并且这个的结果非常简洁 那么我来给你写一个通用式 我们来做一个(a+b)(a-b) 那么这个等于多少呢? 这个就等于 a乘以a 我把这些用不同的颜色来表示 那么a-b 就像这样 那么它就是这个绿色的a乘以这个洋红色的a a乘以a 加上 或者我应该说是减 这个绿色的a乘以这个b 这个减号是这里来的 然后我们就得到了这个绿色的b 那么加上这个绿色的b乘以这个洋红色的a 我只是把每一项乘以每一项 最后减去这个绿色的b 这个就是这个减号的来源 减去这个绿色的b 乘以这个洋红色的b 那这个等于什么呢? 这个就等于a的平方 然后减去ab 这个可以重新写为加上ab 然后还要减去b的平方 这里的这些就约掉了 减去ab再加上ab 那么就得到了a^2-b^2 这就是一个简洁的结果 因为它把原来的式子进行了化简 那么我们就用这个公式来做一些乘法 那么如果我们说 (2x-1)(2x+1) 好的 这些东西都是相同的 这个2x+1 如果你喜欢 你可以把这看成 a+b 这个2x-1 你可以把它看成是a-b 这里这个就是a 这个b就是1 这个就是b 这个是a 用刚才我们得出的那个方法 那么这个等于什么呢? 这个就是a的平方 就是(2x)的平方 减去b的平方 减去1的平方 (2x)的平方等于4倍的x的平方 1的平方就是1 那么就是减去1 那么这个就是4倍的x的平方减1 我们再来做一个 来巩固一下这个知识点 现在我专注于做乘法 如果我有(5a-2b) 并且我让它乘以(5a+2b) 记住 这个只适用于 一个和式与 一个差式相乘的时候 只有在这个条件下才可以用这个公式 我已经告诉了你为什么 如果你还是有点怀疑 就把它乘出来看看 它会花费你稍微长一点的时间 你会看到有些项约掉了 但你不能把所有的二项式乘法都这样来算 比如当我们取平方的时候 在视频的前面部分已经看到过了 那这个就是 用那个公式 这个就是(5a)^2-(2b)^2 也就等于25倍的a的平方减去4倍的b的平方 好的 就讲到这 下次视频再见