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主要内容
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视频字幕

我们来介绍 多项式的余数定理 当我们往下看的时候 一开始您可能觉得有点神奇 但是在今后的视频中,我们会去证明它 然后我们就明白,就像数学中的其他很多东西 当您真正理解的时候 或许它就不会显得那么神奇了 那么什么是多项式的余数定理呢 题目告诉我们,如果 有一个多项式函数,f(x) 这就是这个多项式 多项式 它来除以 (x-a) 那么余数 从那个多项式 的长除法我们就会得到答案为f(a) 其结果将是 f(a) 我想这个看起来有点抽象 我指的是f(x)以及f(x-a) 我来把它说得具体一些 我们来算f(x)等于多少 我们来假设一个 2次幂的多项式 其实对所有的多项式其实都是成立的 所以3x的平方 减4x加7 我们假设a等于,a等于1 所以我们的除法就是 变成我们要除以 (x-1) 所以a,在这个例子中,等于1 现在来做多项式的长除法 我建议您暂停视频 如果您不熟悉长除法 我建议您先去看之前那个视频 因为我假设您已经 知道怎么去做多项式的长除法 3x^-4x+7 除以(x-1) 来计算余数是多少 并且来看余数是不是等于f(1) 假设您已经试过了 我们现在来一起做 我们的除数为(x-1) 被除数为3x^2 减4x+7 好了,做一点多项式的长除法 来开启您的一天是不错的方法 我就是这样的 我不知道您的早上以什么开始 好了,我们来看x项 x的最高幂次项 我从最高幂次项开始 那么x乘以什么得到3x的平方 3x的平方是多少 3x的平方就是3乘以x的平方 所以我可以写下3x 我可以写在 x的一次方的位置 3x乘以x是3x的平方 3x乘以负1等于负3x 现在来做减法 这个和您通常做的长除法是一回事 那么结果是什么 3x的平方减3x的平方 等于0 这项相抵减 这一项-4x 要加3x,对吧 因为负负得正 负4x加3x 得到负x 我用新的颜色来做 我们得到负x 然后把7落下 将您第一次学习长除法和这个做一个完全的比较 也许您在3年级或者4年级学过 我做的就是用3x来乘以这个 您就得到3x平方减3x 然后我再来做减法,被减数为3x平方 减4x,然后就得到这个 或者您可以说我用整个多项式 来减除数然后就得到-x+7 现在,-x+7里面有多少 (x-1)呢 x被负x除 商负1,乘以x 就是负x 负1乘以负1等于正1 然后我们又要来做减法 我们要来减去这个 然后我们就得到余数了 所以负x减去负x 就等于负x加x 它们相加等于0 现在落下7 然后7加1 不要忘记括弧外面有负号 所以如果您将负号分配进来 那就等于负1 7减去1等于6 所以您的余数为6 一种方法去想 您可以说,算了 我还是留给将来的视频课来解释 这个就是余数 您知道当您到余数这一步的时候 这就是对长除法做了一个复习 也就是当您得到一个低次幂的时候 在这里,我想您可以这么来叫它 是一个零次幂的多项式 这个比您实际上 要除以的因子(x-1)的x次幂要低 因为它比因子的幂次低,所以它就是余数了 您不能再用这个余数去商任何数 现在,就这个多项式余数定理 如果它是正确的,因为我在这里只是任意选了一个例子而言 这不是一个证明,而是仅仅是 一种直观的方法 让我们知道这个余数定理 如果这个余数定理是正确的 它告诉我们的是,在这个实例中 f(1)应该等于6 它应该等于这个余数 现在来看看对不对 它应该等于3乘以1的平方 等于3,减4乘以1 那么就是减4,再加7 3减4等于负1再加7,的确是 我们被其结果所鼓舞 它真的就等于6 所以,至少就这个特殊的例子而言 看起来是正确的,它 证明余数定理是对的 但是这个定理的作用是,如果有人问 "如果我用3x^-4x+7 除以 (x-1) 的话,如果我只关心余数 那么余数是什么?“ 这里他们并不关心实际的商会是多少 他们就只想知道余数,您可以说 “你们看,在这个例子里,因为a是1 我可以就把1代入 我可以算出f(1),然后我得出答案是6 我并不需要去做这个整个长除法过程 我仅仅只需要去做这个步骤 就可以算出余数“ 也就是得出3x的平方减4x加7 除以x-1的余数