余数定理的证明

－【画外音】现在我们来证明 多项式余式定理。 想把这个证明变得直观易学。 我准备从我们在多项式 余式定理介绍的视频 中见过的例子开始。 我们看到 3 倍的 x 平方 减去 4x 加上 7，除以 x 减去 1，结果是 3x 减去 1 还有余数 6。 当我们做多项式除法， 怎么判断已经只剩下余式了？ 答案是如果我们除剩下的多项式 的度数低于除式（用于除被除式的式子） 的度数, 它就是余式了。 因此在本例中，可以把刚才做的除法过程 写成一个方程。 我写在这里。 3 倍的 x 平方 减去 4x 加上 7 等于 x 减去 1 乘以商式 再加上余式。 商式就是这上面的式子。 所以方程右边等于 3x 减去 1 乘以除式 x 减去 1， 当然仅仅这两个式子 相乘还不够。 你还得加上余式。 因此这里加上余式。 我干脆把本例的实际余式写上。 就是加上 6。 这里实际上和传统的 数值除法非常类似。 我来解释一下为什么说 非常类似。 比如说 25 除以 4， 你就发现 4 的 6 倍是小于 25 的 最大的 4 的倍数， 得 24。 25 减去 24，你就 得到余数 1。 换句话说，就是 25 等于 6 乘以 4 再加上 1。 我们本例中的情况是完全一样的， 只是用代数式来取代数值。 我还没有开始证明， 只是让你熟悉 一下这里的等式。 我们以这个除式去除这个多项式， 而且得到这个商式及余式， 就等同于该多项式等于 3x 减去 1 乘 以 x 减去 1 再加上 6。 这样的等式是普遍成立的。 我们来写个通式。 比如有 x 的 f 函数。 这就是 x 的 f 函数。 左边是 x 的 f 函数， 等式右边有商式, 我们称之为 x 变量的 q 函数。 我们换个颜色。 我把商式称之为 x 变量的 q 函数。 x 变量的 q 函数就是这一项。 所以 x 的 f 函数等于商式 x 的 q 函数， 乘以 x －a， 本例中 a 就是 1，现在我只是想 把这类问题的通式写出来。 因此商式乘以 x － a，然后再加上余式。 我们知道这个式子里余式必须 是常数，因为余式 要比 x － a 少一度。 x － a 是 1 度的多项式。 比它少 1 度的多项式， 就应该是零度。 零度的多项式就是常数。 这个公式是通式。 对于任何多项式 x 的 f 函数 除以 x 减去 a，这个公式都成立。 因此这个公式对于任何 x 的 f 函数 及任何 x 减去 a 都成立。 现在 f 函数中 x 等于 a 时的值会是多少？ x 的 f 函数可以 这样表示，我用一个 新的颜色醒目些。 根据上面的通式 f 函数中变量 x 取值 a 等于 q 函数中变量 x 取值 a 乘以，我想你可能 已经看出结果了，下面是乘以 a 减去 a 再加上余式 r。 这些会等于多少？ 这整个式子会等于多少？ a 减去 a 就得等于 0， 而 q 函数中变量 x 取值 a 无论会等于多少， 把它乘以 0 就会等于 0。 所以 f 函数中变量 x 取值 a 就得等于 r。 这就是最后一步。 这就是多项式 余式定理的证明。 任何函数， 把它除以 x － a 而得到商式 x 的 q 函数及余式 r ， 就可以以这个公式来表达。 而运用这个公式来计算 f 函数中变量 x 取值 a ， 把 a 代入公式后，就能看到 f 函数中变量 x 取值 a 等于余式。 这就是多项式余式定理。 证明做完了。 这个定理初看上去很奇妙， 却有个简单的证明。