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带余数的多项式除法

Sal 用长除法将 (x^3+5x-4) 除以 (x^2-x+1)。 Sal Khan蒙特雷科技大学 创建

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咱有一个多项式x^3+5x-4 然后咱要把它除以x-x... 这个是x方,不是x 改一下 然后呢我们要把这个 x^3+5x-4除以x^2-x+1给算出来 我们可以用很多其他的形式来表示这个式子 我们可以写成分式,上边就是x^3+5x-4 下面除以x^2-x+1 因为我们要做多项式长除法嘛 所以我们最好把它写成 这种咱小学学过的形式 这边写个x^2-x+1 然后在右边这个长条里,这个被除数的地方,写上x^3... 咱在这边留两个空格 我们这个式子里并没有二次项 但是我们还是需要给二次项留点空 这样之后我们做长除法的时候 步骤就会更好对齐一些 所以这里就是x的三次方加上 0个x方,再加上5x再减去4 这样我们就给3次项,2次项, 1次项和常数项都留了足够的空间 然后之后就是我们都熟悉的除法环节 我们先看最高次项 多少个x^2堆起来可以堆成一个x^3呢? 答案是x个(x^2 * x = x^3) x的3次方除以x的2次方 不就是x的3减2次方,就成了x的1次方 x的一次方也就是x 所以x个x^2堆在一起能搞出x^3 然后咱就在上面写个x 然后我们把左边一整个东西乘x x乘x方就是x的三次方 x乘以负x 就是 负的x方 x乘1 就是一个 正x 然后呢我要用上面这个式子 去减下面这个式子 减去正的就相当于加上负的 所以我们直接把下面这个式子全部乘上-1 然后再上下相加 思路清晰,实践开始 所以在下面我们就有负x^3 负1乘负x方就是一个正的x方,负负得正 然后这个正x乘-1就是-x 然后我们再把上下都加起来 正x^3加上负x^3,这俩就抵消掉了 0加上x方,就是一个x方 加5x减x就是加4x 负4直接落下来就行了 没人和它相加的(落泪) 你也可以想象这边有个0 所以负4就这么直接落下来了 然后现在我们再来看这个式子的最高次项 我们只需要一个x方就能凑出x方了 因为这俩是一样的嘛,所以咱在上面放个加1 然后呢1乘以x方就是x方 1乘以负x就是负x 1乘以1就是1 然后呢因为我们要把它从上面给减去 减去正的就是加上负的 所以我们要把下面变成负的,也就是 把下面这个式子乘上负1 x方就变成了负x方 负x乘负1就成了正x 正1乘负1就是负1 接下来就是加法的时间 x方加上负x方,他们也抵消了 4x加上x就是5x 然后负4加上负1就是负5 然后你可能还想继续除下去 然鹅已经到头了,除不下去了 这边这个“除数式子”的最高次项 已经比“被除式子“的最高次项要高了 咱没办法用大的来凑小的,对吧 所以我们这就有了一个余数 所以这题的答案就是: x+1再加上这个余式除以x^2-x+1 余式就是右下角剩下的这个式子,也就是5x-5 所以我们要在末尾加上 5x-5底下蹲着个x^2-x+1 只要我们还能除下去,我们就一直除 直到我们除不下去为止,就像这个一样 因为现在上面这个式子的次数比下面那个要小了 所以答案就是x+1再加上 右下角剩下的余式除以左边这个大式子 我再写一遍,所以我们的答案就是: x+1再加上 5x-5除以x^2-x+1 咱再来验算一下 如果我们把右面这个式子 乘上左边这个式子 他们的积应该是x^3+5x-4 就这么干吧 我们就把这个答案给乘上x方减x加1 我们把前面这个括号当一个整体 然后这个整体要把后面括号里的每一项都乘一遍 我们先把这个整体乘以后面的第一项 也就是(x^2-x+1)乘以这个x 也就是x乘以x方 也就是x的三次方;x乘以负x 就成了负的x方;x乘以1就是加一个正x 然后我们再把前面这个整体乘上后面的第二项1 所以我们就有x^2-x+1,乘1不变 什么东西乘1都是它自己嘛 然后我们再把前面这一部分乘上后面剩下的这个东西 因为这一部分就是右边分式的分母嘛 所以他们就抵消了 这个,和这个,抵消了 所以这边就光剩下个分子在这里呆着 最后就在加上这个5x-5即可 接下来再把这一长串化简一波 因为我们就只有一个三次项 所以这个x^3放着不用动 至于二次项,我们有一个负x方 这边又有一个正x方 然后这两项就相互抵消了 再来看一次项 我们有一个正x,还有一个负x 这俩也抵消 所以这边这个5x又没人要了 所以5x还是放这不用动了 这边把5x加上 然后是0次项,也就是常说的常数项 有一个1,还有一个负5 把它们加一起 答案是负4 所以我们就得到了x^3+5x-4 验算完毕,完全正确