为什么合成除法可行？

现在，我要简化 这个完全相同表达式， 但是我用传统的长除法来做。 希望我们能看到为什么合成除法 能让我们得到同样的答案。 我们能够看到 合成除法和长除法之间的联系。 我们现在开始。 如果我们要做代数长除法， 我们把它写在这里， 首先，我们要考虑 用这里的最高阶，也就是 x 去除这里的最高阶， 也就是 3x的3次方，得数是什么。 用 x 去除 3x的3次方，得到 3x平方。 我们把它写在 x平方的位置上， 3x平方。 现在，或许你已经可以看到与此相应的项。 我们做合成除法时， 我们直接把 3 落下来， 表示 3x的平方 。 所以这个 3 和这个 3x的平方， 表示同样的事。 但是，或许你会说， 我们必须考虑一下， 我们必须用 x 去除 3x的3次方，才能得到 3x平方 而在这里，我们不加思考地落下这个 3 ， 这样做能行吗？ 我们之所以不加思索地落下这个 3 ， 是因为我们已经假设 要进行这种基本的合成除法， 在这里，我们有一个 x ， 我们没有 3x ， 我们没有 4x ， 我们没有 x平方 ， 我们只有一个 x 。 如果你用 x 去除这个最高阶的项，不管其阶数是多少， 你的系数 将与它完全相同。 它只是比原来低一阶。 所以，它从 3x的3次方 到 3x平方。 系数和原来完全相同。 现在，在这个合成除法中， 这里，就是 x平方 项， 我们从 3x的3次方 到 3x平方， 实际上就是被 x 除。 我们可以不加思索地这样做，是因为我们已经假设 我们要面对的， 只是这里的 1x 的1次方。 让我们继续往下做，同时观察其相应步骤， 观察为什么说其实我们所做的事情是同样的。 现在，我们用 3x平方 乘以 x+4。 3x平方 乘以 x ，-- 我用白色来做--得到 3x的3次方 3x平方 乘以 4 就是 12x平方。 现在，我们要减去它。 我们要减去， 把它减掉。 这两项消掉，我们有 4x平方减12x平方。 得到 -8x平方。 我们又一次看到这里相应的项。 这里，你有 4x平方， 那里，你有 4x平方 我们只是写出它的系数，但这是它所代表的。 4x平方，在那里，我们只写 4。 然后，我们减去 12 x平方。 那个 12 ，是我们用 3 乘以 4 得到的。 然后，做减法。 这里，我们用 3 乘以 -4 我们用 3 乘以 -4 然后相减。 这就是为什么我们把负号放在这里。 这样我们不必要老得记着 减掉这一行。 我们只要保持做加法就行。 这实际上就是我们所做的， 我们用 3 乘 4， 再减去它。 我们得到 -12x平方， 然后，做减法，得到 8x平方。 你可能会说，奥，它就 和这里的 -8 一样对吗？ 还没到那里呢，因为在这里， -8 表示 -8x， 这是我们简化过程的一部分。 如果我们用它去除它， 我们得到 3x平方-8x+30, 在这里的代数长除法中， 用 x+4 去除 -8x 等于什么？ 用 x 去除 -8x平方，得到 8x。 这里是关键， 用 x 除它，得到 -8x。 又是这样，我们之所以 在这里放上 -8，是因为我们知道 我们的除数是 1x 。 这样我们就有完全相同的系数。 只是阶数降一阶。 这里，是我们的 x 项。 你看，就在这里，就是这样。 许多的简化是出自一个理念， 我们假设在合成除法中， 它是 1x 。 现在我们继续， 你有 -8x 乘这里 这一项 -8x 乘 x 就是 -8x平方， 然后，-8x 乘 4 就是 -32x 。 我们可以把这几项写到下面来， 这样简单一些。 你有 -2x , 然后这里有 -1。 又是这样，在你做 传统的代数长除法时， 你要从这里减掉这些。 如果我们要减掉， 就是加上负号。 我们剩下什么，这两项消掉， 你有 -2x 加 32x ， 我们得到 正的 30x 。 下面，我们把这个 -1 落下来。 我用黄色。 我们把 -1 落下来。 这个 30 与这里的系数相同。 但是这个 30 应该在这里。 这是我们的最终答案的一部分。 这个结果，又是由下面的事实而来， 我们知道这里我们有个 x 。 当我们做合成除法时， 30x 除以 x 就得到 30 。 那个30 和这个 30 完全相同。 然后我们做乘法， 30 乘 x 是 30x ，30 乘 4 就是 -- 我用白色写出 30x ， 因为这是我使用颜色的习惯--，30x。 30 乘 4 是 120 ， 然后我们从那里减去这些， 我们得到 -1 减 -120 ，就是 -121。 这里，是我们的余数。 这正是我们在那里得到的。 希望，你们能看出这当中的联系。 因为我们假设在这里我们除以 x 加或者减一个数，所以 我们就能做出使问题得到简化的假设。 任何时候你用 x 去除它， 你知道会得到同样的系数， 而阶数降一阶。 一直这样做下去。 这就让我们能做得更简单一点， 更快一点并用更少的纸面。