If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

基变换规则简介

学习如何用不同基数改写任何对数。这对于用计算器求对数十分有用。
假设我们想要找到表达式log2(50)的值. 由于50并不是2的有理幂,所以没有计算器的话很难就该值.
然而,大多数的计算器只能直接计算以10或者e为底的对数. 因此,为了能够求出log2(50)的值,我们必须要先换底.

换底公式

我们可以用下列公式换任何对数的底:
备注︰
  • 当我们使用该属性时,你可以将底换成任意 x.
  • 一如既往得,为了使该属性成立,真数必为正,且底数必为正且不等于1.

例:求log2(50)的值.

如果你的目标是求一个对数的值,那么将底变为10或者e,因为这些对数能够在大多数的计算器上计算得出.
那么,让我们把log2(50)的底数换为10吧.
想要做到这个的话,我们就要把b=2a=50,以及x=10应用到换底公式中去.
log2(50)=log10(50)log10(2)基变换法则=log(50)log(2)因为log10(x)=log(x)
我们现在可以使用计算器来求出其值.
log(50)log(2)5.644

练习

问题1
log3(20)的值.
保留小数点后三位.
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题2
log7(400)的值.
保留小数点后三位.
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题3
log4(0.3)的值.
保留小数点后三位.
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

证明换底公式

到这里,你可能会想,“很好,但是为什么这个公式成立呢?”
logb(a)=logx(a)logx(b)
让我们从一个具体的例子开始。通过上面的举例,我们想要证明 log2(50)=log(50)log(2)
让我们用 n 作为 log2(50) 的占位符。换句话讲,我们已知 log2(50),根据对数的定义,2n=50。现在,我们可以在等式的两边执行一系列操作,这样等式就可以保持不变了:
2n=50log(2n)=log(50)如果 A=B,然后 log(A)=log(B)nlog(2)=log(50)幂规律n=log(50)log(2)除以log(2)
由于 n被定义为log2(50),所以符合我们的预期,得出 log2(50)=logx(50)logx(2)
同理,我们可以证明基变换法则。只需要把2换成b,把50换成a,选择任何基数x作为新的基数,你就可以完成你的证明了!

挑战题

挑战题1
请求出 log(81)log(3) 的值,不能 使用计算器。
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

挑战题 2
请问哪个表达式等于 log(6)log6(a)
选出正确答案:

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.