主要内容
基变换规则简介
学习如何用不同基数改写任何对数。这对于用计算器求对数十分有用。
假设我们想要找到表达式 的值. 由于 并不是 的有理幂,所以没有计算器的话很难就该值.
然而,大多数的计算器只能直接计算以 或者 为底的对数. 因此,为了能够求出 的值,我们必须要先换底.
换底公式
我们可以用下列公式换任何对数的底:
备注︰
- 当我们使用该属性时,你可以将底换成任意
. - 一如既往得,为了使该属性成立,真数必为正,且底数必为正且不等于
.
例:求 的值.
如果你的目标是求一个对数的值,那么将底变为 或者 ,因为这些对数能够在大多数的计算器上计算得出.
那么,让我们把 的底数换为 吧.
想要做到这个的话,我们就要把 , ,以及 应用到换底公式中去.
我们现在可以使用计算器来求出其值.
练习
证明换底公式
到这里,你可能会想,“很好,但是为什么这个公式成立呢?”
让我们从一个具体的例子开始。通过上面的举例,我们想要证明 。
让我们用 作为 的占位符。换句话讲,我们已知 ,根据对数的定义, 。现在,我们可以在等式的两边执行一系列操作,这样等式就可以保持不变了:
由于 被定义为 ,所以符合我们的预期,得出 !
同理,我们可以证明基变换法则。只需要把 换成 ,把 换成 ,选择任何基数 作为新的基数,你就可以完成你的证明了!