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代数2

课程: 代数2 > 单元 8

课程 4: 对数基本公式变形

基变换规则简介

学习如何用不同基数改写任何对数。这对于用计算器求对数十分有用。

假设我们想要找到表达式

\log_{2} (50)

的值. 由于

50

并不是

2

的有理幂，所以没有计算器的话很难就该值.

然而，大多数的计算器只能直接计算以

10

或者

e

为底的对数. 因此，为了能够求出

\log_{2} (50)

的值，我们必须要先换底.

换底公式

我们可以用下列公式换任何对数的底：

备注︰

当我们使用该属性时，你可以将底换成任意 $x$ ‍.
一如既往得，为了使该属性成立，真数必为正，且底数必为正且不等于 $1$ ‍.

例：求 $\log_{2} (50)$ ‍的值.

如果你的目标是求一个对数的值，那么将底变为

10

或者

e

，因为这些对数能够在大多数的计算器上计算得出.

那么，让我们把

\log_{2} (50)

的底数换为

10

吧.

想要做到这个的话，我们就要把

b = 2

，

a = 50

，以及

x = 10

应用到换底公式中去.

\begin{aligned} \log_{2} (50) & = \frac{\log_{10} (50)}{\log_{10} (2)} & 基变换法则 \\ = \frac{\log (50)}{\log (2)} & 因为 \log_{10} (x) = \log (x) \end{aligned}

我们现在可以使用计算器来求出其值.

\frac{\log (50)}{\log (2)} \approx 5.644

[我想看看这道例题用换成e为底怎么解答.]

练习

问题1

求 $\log_{3} (20)$ ‍的值.
保留小数点后三位.

问题2

求 $\log_{7} (400)$ ‍的值.
保留小数点后三位.

问题3

求 $\log_{4} (0.3)$ ‍的值.
保留小数点后三位.

证明换底公式

到这里，你可能会想，“很好，但是为什么这个公式成立呢？”

\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)}

让我们从一个具体的例子开始。通过上面的举例，我们想要证明

\log_{2} (50) = \frac{\log (50)}{\log (2)}

。

让我们用

n

作为

\log_{2} (50)

的占位符。换句话讲，我们已知

\log_{2} (50)

，根据对数的定义，

2^{n} = 50

。现在，我们可以在等式的两边执行一系列操作，这样等式就可以保持不变了：

\begin{aligned} 2^{n} & = 50 \\ \log (2^{n}) & = \log (50) & 如果 A = B ，然后 \log (A) = \log (B) \\ n \log (2) & = \log (50) & 幂规律 \\ n & = \frac{\log (50)}{\log (2)} & 除以 \log (2) \end{aligned}

由于

n

被定义为

\log_{2} (50)

，所以符合我们的预期，得出

\log_{2} (50) = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)}

！

同理，我们可以证明基变换法则。只需要把

2

换成

b

，把

50

换成

a

，选择任何基数

x

作为新的基数，你就可以完成你的证明了！

[我想看看这个.]

挑战题

挑战题1

请求出 $\frac{\log (81)}{\log (3)}$ ‍ 的值，不能使用计算器。

挑战题 2

请问哪个表达式等于 $\log (6) \cdot \log_{6} (a)$ ‍？

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换底公式

例：求log2⁡(50)‍ 的值.

练习

证明换底公式

挑战题

想加入讨论吗？

例：求 $\log_{2} (50)$ ‍的值.