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主要内容
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求对数值:基变换规则

视频字幕

利用换底定律求以5为底100 的对数,将结果近似到三位小数。 换底定律是一个很有用的定律, 特别是当你使用计算器的时候, 因为大部分的计算器是不允许 你随便换对数的底的。 它们都是以e为底的对数, 就是自然对数以及以10为底的对数。 所以一般来说你需要换底。 这就是换底定律应用的地方。 如果有时间的话我会告诉你 为什么它很有用以及我们如何得到它。 所以换底定律就是说 log--让我换个颜色--以a为底b的对数 就等于以x为底的对数,x就是 一个随便的底数,以x为底b的对数,分子是 一样的底,以x为底a的对数。 这很有用的原因是 我们可以随便变换底数。 这就是我们的底,a,然后我们可以把它变成x。 所以如果我们的计算器有一个固定的以x为底的函数 我们可以变换底数。 通常都是e或者底数10. 底数10是一个很常见的底数。 然后普遍的,如果你看到一些人写了一个类似的对数, 如果他就写了log x 这意味着,这是一个以10为底x的对数。 如果有人写x的自然对数, 那么就意味着这是一个以e为底的对数, e近似2.71, 如此以往。 现在我们来把它应用到题目中。 我们需要找到对数-- 我会用不同颜色---以5为底100的对数。 所以这个定律,这个换底定律 告诉我们一件事 就是我会让x 10---以10为底100的对数 除以以10为底5的对数。 然后事实上,我们甚至不需要计算器 计算分子部分。 以10为底100的对数--10的几次方 等于100? 2次方。 所以分子就等于2. 所以简化后就是2除以以10为底5的对数。 然后我们就需要使用计算器, 因为对数函数在计算器上是以10为底的。 所以让我们用计算器算出来。 我要清了这个。 2除以--当有人写log时意味着底数为10. 如果按ln,那意味着底数是e。 所以没有其他信息的log底数是10. 所以这是底数为10五的对数就等于2.--- 题目要求三位小数,所以2.861. 所以这就近似等于2.861. 然后我们可以验证这个理论,这个数的5次方, 应该等于100. 这就让人容易理解了,因为5的2次方 是25,5的三次方等于125, 然后这个是处于2和3之间, 并且离3更近一些。 这个数离3比2更近。 好让我们验证一下。 所以如果我取5的那个数次方,让我输入--- 让我输入我们近似了3位小数的答案--- 5的2.681次方。 所以我不是把所有的小数点后的数都打上了。 我得到了什么? 我得到了99.94. 如果我把所有的数输进去, 那么应该得到非常近似100的结果。 所以这就会让你感觉很好。 这就是我们需要的 5的及次方等于100. 现在撇开这个方法,让我们实际的 去思考这个换底定律, 为什么这个定律如此有效。 所以如果我写以a为底的对数-- 让我用颜色区分--以a为底b的对数。 我们说让它等于某个数。 我们叫它等于c,或者叫它e, 算了就叫c. 所以这就意味着a的c次方就等于b. 这是一个指数形式的表达方式。 这个是对数形式。 这就等于b。 现在,我们可取在两侧 同时取对数。 无论你做什么,如果你说10的几次方等于这个? 10的一样的次方等于这个, 因为这两者是相等的。 所以让我们在两侧同取对数, 同底数的对数。 然后事实上我会做以x为底的对数 来验证这个定律的普适性。 所以我要在两侧同取以x为底的对数。 所以这就是以x为底a的c次方的对数 我要用始终如一的颜色-- 就等于以x为底b的对数。 让我把它也换成橘黄色。 然后我们知道对数的性质,以a为底c的对数 就等于c乘以无论底数是什么 a的对数。 然后当然,这就等于以x为底b的对数。 让我--我就写b。 然后如果我们想解c,你只需要在两侧同时初一 以x为底a的对数。 所以你就得到c等于--我要继续使用这个颜色-- 所以就是以x为底b的对数,就是,除以以x为底a的对数。 这就是c. c等于以a为底b的对数。 就等于以a为底b的对数。 让我这么写。 让我这么写--好的,让我用原来的颜色 这样你就能清晰地知道我在做什么。 我认为你知道我们在做什么。 但是我希望保持原来的颜色。 所以c等于以x为底b的对数除以 让我往下拉一点--以x为底 两侧同时除以a的对数。 然后我们知道这里我就复制粘贴一下, 等于c。 这就是我们如何定义它的。 所以让我复制粘贴一下。 所以这就等于c。 然后就完成啦。 我们证明了这个换底定律。 以a为底b的对数就等于以x为底b的对数除以 以x为底a的对数。 在这个例子中a是5, b是100, 然后我们把底数换成了10,x等于10.