证明对数基变换规则

在这个视频里 我想要证明的是换底公式—— 让我把这个写下来 我要证明如果要求以a为底的x对数 我可以通过 给对数换底来完成 这就等于以b为底x的对数 除以 以b为底a的对数 这道证明题的结论大有用处 如果你的计算器只能算自然对数 也就是以10为底的对数 你现在就可以用这个公式进行对数计算 让我解释得更清楚一些 假设说 你想要计算一个对数 比方说以3为底25的对数 你的计算器可以计算以10 或者以2为底的对数 那你就可以把这个换算为 以10为底25的对数 大多数计算器都可以算这个 再除以以10为底3的对数 这就是换底公式的应用 首先我们还是来证明这个公式 我们先把 以a为底x的对数 设为另一个变量y 我写在这里，把这个对数设为y 这实际上就等于 a的y次方等于x 我们就可以把它写成a^y=x 我把x写在这里 因为这两个是相等的 这只是换种形式 把我刚才写的式子重新表达了一遍 现在引入以b为底的对数 具体做法就是 在等式两边同时取以b为底的对数 先对等式左边取对数 再对右边做同样处理 根据对数性质 我们知道一个幂的对数 就等于 对数乘以次方数 所以以b为底的a的对数的y次方 就等于y乘以以b为底a的对数 这是对数基本的性质 我们在其他视频里已经做过证明 我们已经知道 这和右边的部分是相等的 这就等于以b为底x的对数 现在我们就来求y 这很让我激动，因为y就在这儿 但是如果要求y 我们就等于以b为底的对数来求它 要求y，我们只需要 对等式两边同时除以以b为底a的对数 所以我们对左边除以以b为底a的对数 再对右边除以以b为底a的对数 等式左边这两项 会被消掉 激动人心的时刻到了 现在剩下的是y=log b(x)/log b(a) 我重新写一下 复制粘贴过来 这样就不会把颜色搞乱 让我粘贴过来 你得到了 这就是换底公式 要记住：y和这边是一样的 y=log(a) 让我写得再清楚一点，y=log(a) 也就等于log a(x)，复制粘贴 y就等于这边，也就是我们刚定义的 y=log a(x) 就等于这边，如果我们用b为底来表达 这就是我们的换底公式