使用对数基变换规则

－【画外音】 这里我们有两种对数 表达式，分别以 黄色及粉色来标识。 我建议你象往常 那样，把视频暂停一下， 试着把这些对数 表达式化简。 在这之前给你一点提示。 这个提示就是想一下 如果把这些对数 表达式的底换掉， 是否能够把式子化简。 再进一步的提示。 我说的换底 指的是对数的底， 用颜色来标识， 比如以 a 为底 的 b 的对数， 等于 b 的 常用对数 除以 a 的 常用对数。 这时可能有人说， 公式里你写了对数， 但是没有标明它的底是什么。 实际上无论公式右边的 底是什么，只要分子和分母中 的对数的底相同，这个公式都成立。 比如这两个对数的底可以是 9。 通常人们用10为底。 所以 10 为对数的底最为典型， 而多数人的计算器上或使用 的对数表中也以 10 为底。 这个公式的意思就是 a 的某 指数乘方等于 b，该指数等于 使 10 的乘方等于 b 的指数 除以使 10 的乘方 等于 a 的指数。 如果你牵涉到对数时 这个换底公式很有用。 我们在另一个视频里证明了它。 现在的问题是如何应用它。 我们回到这个黄颜色的式子， 它就是 1 除以 下面这个对数。 因此我就这么写。 这就是 1 除以 以 b 为底的 4 的对数。 我们用刚才说的换底公式 来重写这个式子。 所以这个式 子就等于， 1 除以， 这个以 b 为底的 4 的对数， 可以改写成 4 的对数， 而如果我没有写该对数的底， 就假设这个底是 10， 4 的对数除以 b 的对数。 到这一步，如果除以一个 分数或分式， 就等同于乘以 它的倒数。 因此这就等于 1 乘以 这个分式的倒数。 b 的对数除以 4 的对数, 当然就等于 b 的对数除以 4 的对数， 因为刚才只是乘以 1， 而现在我们可以掉过头来， 再用一下本视频 开头所说的换底公式。 这就等同于 以 4 为底的 b的对数。 现在这个式子 看起来简化了， 推导的过程中没有做特别的假设， 这里的 b 也没有一定要取特别的数值。 如果计算 一个对数表达 式的倒数， 我 实际上是在换底。 这是以 b 为底的对数， 意思是 b 为底的乘方指数 是多少才能等于 4？ 而这个式子的意思是 4 的 多少次乘方才能等于 b？ 如果你把一些明确的数字代入， 看起来就不那么费解。 那样就比较容易理解， 特别是涉及分数指数时。 例如 4 的 3 次方 等于 64。 如果以 4 为底 64 的对数， 就应当等于 3。 而如果我要计算 以 64 为底的 4 的对数， 那么就得把 64 的乘法指数 设为 1／3 才能得 4。 因此请注意这两个结果互为倒数。 这样看起来这个结论没有那么不可思议， 各个方面都是自洽的。 现在我们来对付 这上面的一题。 以 c 为底的 16 的对数， 乘以以 2 为底的 c 的对数。 用换底公式 把这个式子中的两个对数写成 以 10 为底的对数的分式更方便。 因此这第一项， 我可以把它写成 以 10 为 底 的 16 的对数， 记得如果我不标明底 就可以假设底等于 10， 除以 以 10 为底的 c 的对数， 而这一项要乘以 的第二项，也可以借助 同样的换底 公式，改写为 以 10 为底的c 的对数， 除以 以 10 为底 的 2 的对数。 我当然可以在这里 表明这些对数的底是 10。 虽然没有必要这么做。 这样变换以后，因为存在乘以 c 的对数及除以 c 的对数的因式， 且这两个对数的底都是 10， 这两个因式相互抵消， 只剩下 以 10 为底 的 16 的对数， 除以 以 10 为底的 2 的对数。 而到这里我们知道可以倒过来用换底公式， 这个分式可以 转化为 以 2 为底的 16 的对数, 这个式子还可以简化，因为 这个对数的意义是 2 的 多少次方等于 16？ 答案是 2 的 4 次方才能等于 16。 我用蓝色来标识。 2 的 4 次方 等于 16。 因此这是个出人意料的结果， 因为开始 表达式中有变量 c， 看起来在推导 一个代数式， 到最后才发现这个看似 乱乱的表达式 结果等于 4。 这个结果可以用来 做数学猜谜或寻宝活动， 式子是谜面， 谜底是 4。 数字也可作为游戏中移动的步数。 可以设计得很有意思。