𝑒 和复利

假设你现在急需一块钱 所以你来找了个高利贷 跟我说你需要借一块钱，时长 一年，然后我说我今天心情好，可以 借你一块钱用一年 然后我以最低利率100% 借给你，每年100% 那么一年后你要还我多少钱？ 你要给我原本你借的 那些钱加上那些钱的100% 所以一块钱再加一块钱 答案很明显是两块钱。然后你说，这也太夸张了 我要还你借的数量的两倍 可能这钱 我只需要用六个月，你有没有更好点的 方案呢，高利贷先生？ 我说，假如你能六个月 还完的话，那我可以以一半的时间 收你一半的利息 你借了一块钱，所以在六个月内 我会收你50%的利息 这边这个很明显是一年；那你要还 多少钱呢？嗯，你需要还 本来借的数量 一块钱加上一块钱的50% 加上0.5，所以等于1.5 等于1.5块钱 1.5块钱，然后你说这样看着好一点 那假如我那个时候没有钱还你怎么办？ 假如我还是需要借一年呢？ 其实我们有一个系统 我会跟你说，没问题， 你现在还没钱还我，那我…… 我们可以想想……我可以再 借你六个月这么多钱 我们会再借给你这些钱 我会再以同样的50%利率 借你接下来的六个月 那时候你欠我本来的1.5加上 本金的50%，也就是加上7毛5（75分） 这样等于2.25块 另一种想法是从1块钱 经过第一个时间段，你乘上1.5 假如你要在某个数量上增长50% 就乘1.5 然后你还要涨50%，那可以 再乘1.5 50%的利率跟 乘1.5是一回事 乘1.5 假如你从1开始，然后乘1.5两次 答案是一样的 2.25就等于1乘1.5两次 1.5乘两次就是1.5平方 在这边你也可以看到一样的 100%利率跟 乘2是一回事，等于1加1 这里就是乘2 跟1乘 2的一次方一样，因为你只借了 一个一年的时间段 你可能还要问，2是哪来的？ 假如利率是100%，那么在这个 时期过后你要付两倍的钱 你要付本金加上100% 你要付本来借款数的两倍 假如每个周期利率是50% 那你就要付你借的本金 这是一部分，然后还有一部分是 本金的50%，所以是1.5乘上你借的钱 每个周期你都乘1.5。那你现在想知道 这跟利率到底有什么关系 你可以这么看……这边等于 1乘以……第一部分的利率是100%，1加上100% 除以1个周期的一次方 我知道这么重写 看着很疯狂。把1加1重写成这样 但你可以发现我们在不同数量的周期 时候也可以这么写 这边这个我们可以这么重写 我们可以说这是1乘1加100% 这里是一年100%，然后我们 分成两个周期，两个六个月的周期 每一个是50%。1乘100%除以2等于 1.5，然后在两个周期内复利 让我用另一个颜色写2个周期 让我用这边这个 橙色来写。你可能开始看见 一些规律了。那可能你现在想说 可能我会按时还钱……并且你不太喜欢这样 因为这是2.25块，比之前的 2块钱还贵，所以你问，假如我们 每个月来一次会怎样？我说，没问题 我们可以算一下 每个月之后 我要收你100% 除以12的利息，等于8 1/3% 你要还本金加上8 1/3% 这等于乘1.083无限循环 一个月后你要还1.083无限循环 两个月后……这个距离看着 比两个月还长一点，但这 本来就不是完全按比例的。两个月后 你要再乘一次 再乘1.083无限循环，这等于 1.083无限循环的平方，假如你一直 来12个月……让我腾点空间 假如你一直算12个月 我应该把开始那去掉，所以 再来10个月。那假设你没有 每个月还钱，那在一年之后你要付的 总利息是多少？ 就假如每次你都要再借这些钱 我每次都累计上之前的利息 那假如一个月后你要付1.083 你可以把这个想象成 一次方。这是两个月，所以 你要付这个的12次方 我们在十二个周期里计算复利 十二个8 1/3%，假如你要 照着这边这个写，那就等于 本金 本金乘1加100%除以 12，我们把100%分成了12个周期 然后我们要计算复利12次 我们算这个的12次方 这等于多少呢？ 我们可以用个计算器 让我打开我的TI-85计算器，这个等于 多少呢？我们有几种方法来算 这是1.083无限循环，我们拿出计算器 我们有几种方法来算。让我这么写 最后答案是一样的。我不重写这个了 我这么写只是希望你能 看到这个表达式的结构 1加……100%等于1 1除以12的12次方。可以四舍五入到2.613 所以大概是2.613。现在你说这看着 很有意思，你甚至都忘了 你财务上的问题，然后你现在就想知道 假如我们继续算下去会怎么样 这里是100% 然后我们做了每六个月50% 之后我们做了每个月8 1/3%，也就是100%的十二分之一 然后得到了这个数字 那假如我们每天算一次会怎么样呢？ 每天 假如你借了一块钱，然后我说 那每天我收你 100%的365分之一的利率 所以就是100%除以365，然后我要算 365次复利，你对这数学很感兴趣 然后问，那答案是什么呢？ 一年后我们得到什么？ 你有本金。让我 往右移动一点，这样我们有点空间 你有本金 乘1加100%除以……不是12 而是100%除以365个周期 365个周期，我们要算复利 在这365天内，每天只要这个贷款没还 就要乘1加100%除以365 365次方 你说，哇，求某个数的365次方 这会是一个很大的数字 然后你说也不一定，因为 100%除以365是一个很小的数 这个估计离1很近 很明显，我们可以求1的任何次方 然后结果不会很夸张 让我们看看这个怎么样 让我们看看这个怎么样 这等于1加……100% 跟1是一回事，1除以365的365次方 我们得到2.71456，让我写在这 这大概等于…其实这个 这个挺准的 但我的计算器只能到这了 2.7145675一直下去 这个很有意思 这里这个数字越来越大 但是结果没有是一个 巨大的数字；好像答案在 接近一个神奇且神秘的数字。没错， 确实是这样。假如你用越来越大 的数字，假如你将100%除以 越来越大的数字，然后求 这个次方，你会达到或许是 最神奇最神秘的数字 数字e，你可以在计算器 这里看见，这有e的x次方 我可以只求e的 一次方，让你看看在计算器内 存的是什么数字 你可以看见，1加1除以 365的365次方，我们已经得到 非常非常接近e的结果 我鼓励你再试一试更大 的数字，然后你会得到 更接近这个神秘数字的答案 或许你都不会在意要还高利贷 e块钱了，因为这是一个很美丽的数字