指数函数图表（旧例）

画外音：这里我们有4个图像 和4个函数定义 这里我想让你暂停视频 想一想哪一个图像 对应于哪一个函数定义 我假设你已经自己试过了 让我们来挨个看这些函数 想一想他们的图像应该是什么样 我喜欢的 一个简单的步骤 是先思考当x=0时的情况 特别是当x函数的指数时 让我把这个 写下来 y(0)=2-(1/3)^0 就等于2-1 因为(1/3)^0=1 当x=0时，哪个函数图像 显示的y值等于1呢？ 这一个，x=0时，y=-1 这一个，x=0时，y=-1 或者说看起来像-1 这一个，x=0时，y=1，这个有可能 这一个，x=0时，y=1 因此后面两个看上去都有可能 是这个函数定义的图像 现在让我们想想函数的变化 思考一下 当x趋近一个极大值时的情况 当x趋近一个极大值时 我们想象一下y(1000) 1000当然还不算极大值 不过我们先思考一下1000的情况 它就等于2-(1/3)^1000 (1/3)^1000 将是一个很小很小的数 这就等于我们要用1/3乘以1/3 你可以想象1/3乘以1000次 我相信你会得到一个 非常非常接近0的数字 让我把这个写下来 这一部分将会非常接近于0 接近0 另一种思路是 考虑当x增加时，这一部分趋近于0 这会非常接近0 y(1000) 将会非常接近于2 换一种角度去想 当x变得越来越大时 这一部分会越来越接近0 因此，当你用2去减一个 越来越接近0的数字时 x变得越大，它就越接近2 那么这两个哪个符合这一特征呢？ 显然是右边的这个 当x变得越来越大时 我们可以看到y 越来越接近2 我们可以说，就是这一个 y=2-x^1/3 我们也可以思考x变小时函数的变化 当x变成越来越大的负数 这个就是一个很大的负数的1/3次方 也就是一个非常大的正数的3次方 因此x变成越来越大的负数时 这个就会变成越来越大的正数的3次方 再从2里减去它 y就会变成越来越大的负数 我们可以看到x变成越来越大的负数时 y也变成越来越大的负数 这个和前面的判断是一致的 现在我们来想想这边的函数 这一个，y=(x-2)^1/2 我们可以首先想想 y(0)的值是多少 y(0)=(1/2)^0-2 也就等于1-2 就是-1 因此这两个都有可能 是这个函数的图像 当x=0时，y=-1 当x=0时，y=-1 但是现在让我们再来想想函数的变化趋势 当x越变越大时 y值将会发生怎样变化 就像刚才看到的，你会得到一个分数 1/2的指数会变得 越来越大 让我们来想想这一点 这个指数越大 这一部分就会越趋近于0 1/2×1/2×1/2×1/2 这个很快就会非常接近0 当这部分趋近于0时，y值将趋近于-2 x变得越大 1/2的x次方就越接近0 因此y值就会更从上方趋近于-2 我们来看看哪个图像能体现这一点 看上去很像这个 再说一次，我们判断这两个都有可能 当x=0时，y=-1 这里，我们看到当x变大时 y越来越趋近-2 因为这部分的值会变得越来越小 对应的就是这个图像 你也可以想想当x变小时 函数的变化 当x变成越来越大的负数时 这就相当于是2的正数次方 你会看出 当x变成越来越大的负数时 y值会越变越大 好的，我们还剩下两个 y=2^x 这个可能是最简单的一个 y=2^x 当x=0时，y=1 我们看到这就对应了这个图像 这是最基本的指数函数 当x增加时，y也增加 这是最经典的指数函数形状 当x变成越来越大的负数 越来越趋近于极大的负值时 这部分就是2的负数次方 想象一下 y(-10) 这个负数的值都不算大的 它就等于2^-10 也就是1/2^10 当x变成越来越大的负数时 这个表达式就会越来越 接近于0 很显然对应于这个图像 最后，根据推理 你也可以说这个函数 对应的是这个图像 不过我们还是认真来推导一下 这里运算顺序的重要性就体现出来了 当你看到-3^x这个表达式时 可能会感到有点困惑 你会想，这到底是算 整个-3的x次方 还是负的3的x次方呢？ 这里，我们需要提醒自己 运算顺序的规定 幂运算在括号之后有最高优先级 你需要先做幂运算 先算3^x 然后算幂运算结果的相反数 实际上 这个还是经典的指数函数 但因为有这个负号 你需要将图像沿x轴翻转 也就是这个图像中的情况 当x越变越大时 3^x也越变越大 但当我们取它的相反数时 y会越变越小 同样，当x越变越小时 3^x会趋近于0 当x=0时，3^0=1 但这里有负号 结果就是-1 这就是y=-3^x这个函数的图像