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主要内容
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2ˣ 和 log₂(x)图像的关系

视频字幕

在这个视频中, 我要画出一个典型的指数函数图像, 然后再画出与它对应的对数函数的图像, 看看这两者在图像上的关系。 我要画图的两个函数 分别是 y 等于 2 的 x 次方, 以及 y 等于以 2 为底的 x 的对数。 我建议你暂停视频, 分别找出一些点, 然后把它们画在同一个坐标系里。 看看它俩之间的关系, 然后想想为什么 两者是这样的关系。 我们先来看 y 等于 2 的 x 次方。 先画一个表, 不同的 x 对应不同的 y。 x 和 y,我们从 -2 开始 -1,0,1,2,3, 每种情况的 y 值都等于 2 的这个次方。 2 的 -2 次方等于 1/4。 2 的 -1 次方等于 1/2, 2 的 0 次方等于 1, 2 的 1 次方等于 2, 2 的 2 次方等于 4, 2 的 3 次方等于 8。 我们来画图, 2 的 3 次方等于 8, 2 的 2 次方等于 4, 2 的 1 次方等于 2, 2 的 0 次方等于 1, 2 的 -1 次方等于 1/2, 2 的 -2 次方等于 1/4。 而 2 的 -3 次方则等于 1/8, 所以应该是这样, 函数的图像是这个样子。 这就是经典的曲棍球杆曲线, 通常都是形容指数上升的趋势, 像曲棍球杆, 刚开始慢慢上升, 然后忽然,嘣,急剧飙高。 注意,当我们沿 x 轴向左, x 向负方向走得越远, 函数值越接近 0,但永远到不了 0。 比如 2 的负一百万次方, 它会等于一个非常非常小的数, 非常接近 0, 但不会精确等于 0。 所以 y = 0 是它的水平渐近线, 或者说 x 轴是它的水平渐近线。 可以了, 我们现在来看 y 等于以 2 为底的 x 的对数, 我们用另一种想法来表示它。 根据对数的定义, 对于任意 x,找到 2 的几次方等于这个 x, 这个“几次方”就是 y。 也就是说, 它等价于 2 的 y 次方等于 x。 这就有趣了, 本质上说, 二者的区别仅仅是交换了 x 和 y。 这是 2 的 x 次方等于 y, 这是 2 的 y 次方等于 x, 这二者仅仅交换了 x 和 y。 我们可以把这两列交换过来, x 和 y, 我写上 1/4、1/2、1、2、4、8 现在我们说,当 x 等于 1/4 时, 2 的几次方等于 1/4 呢? 2 的 -2 次方等于 1/4。 2 的 -1 次方等于 1/2, 2 的 0 次方等于 1, 2 的 1 次方等于 2, 2 的 2 次方等于 4, 2 的 3 次方等于 8。 请注意, 我们实际上只是 把这两列做了交换。 现在来画图, 当 x 等于 1/4 时,y 等于 -2, 当 x 等于 1/2 时,y 等于 -1, x 等于 1 时,y 等于 0, x 等于 2 时,y 等于 1, x 等于 4 时,y 等于 2, x 等于 8 时,y 等于 3, 图像是这个样子。 我想,你们可能已经看出规律来了。 这两条曲线实际上是对称的, 那么它俩是关于什么对称呢? 它们是关于 y = x 对称的, 如果你把 x 和 y 交换, 换种说法, 如果交换坐标轴, 你就得到另一条曲线。 本质上,我们就是这么做的。 它俩关于这条直线对称, 其本质就是因为 它们互为反函数。 也就是我们把 x 和 y 互换了, 因此,当 x 向负方向走的越来越远, y 趋近于 0, 而这里是 y 向负方向走的越来越远, x 就趋近于 0, 或者你可以说当 x 趋近于 0, y 趋近于负无穷。 我讲了这么多, 就是想让你对 指数函数和对数函数的关系 有更深的理解。 它俩互为反函数, 你在图中可以看到, 它俩是对称的,对称轴是 y = x。