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绘制基础对数函数图表

视频字幕

题目要求我们画y等于以5为底x的对数。 提醒一下我们这是在说什么, 这就是说y等于 5为了等于x需要的幂。 或者如果我把这个对数方程 写做指数方程,5是我的底,, y是我需要得到的指数, 然后x是当我有5的y次方得到的数 所以这个方程的另一种写法是 5的y次方等于x, 它们是一样的。 在这里,我们有y是x的函数。 这里,我们有x是y的函数。 但它们真的是一样的, 5的y次方得到x。 当你把它当作一个对数,你说,好吧, 那我需要5的几次方去得到x? 我们要5的y次方。 5的y次方是多少? 我得到x。 这个问题解决了,让我们画一个小表格 来取一些点, 然后我们把这些点连起来 看看曲线是什么样的。 让我取一些x值和y值。 一般来说,我们想选一些能给出整数的数, 一些非常简单的数, 这样我们就不用 用计算器了。 所以一般来说,你要选的x值 是一个非常直接的5的次幂 能够得到的x值。 或者另一种考虑方法, 你可以考虑不同的 5的y次方的值, 然后你就可以得到x的值。 所以我们可以用这个 来求出实际的x值。 但我们要清楚,当我们这样表达, 自变量是x,因变量是 y。 说不定我们可以看这一个去选择一些不错的 可以给我们简单明了的y值的x值。 那么这里,我要先填写y, 得到简单明了的x。 假设我们要取5的次方, 让我要选一些新的颜色—— 负2次方—— 让我换个颜色——负1、0、1。 再写一个,2。 这有点非传统, 我先填了因变量。 但是根据这里的写法, 自变量其实是已知的, 所以很容易求出这个对数函数的 自变量是多少。 多少的x值可以给我-2的y值? x等于多少 使得y等于-2? 5的-2次方等于x。 5的-2次方等于1/25。 得到1/25。 如果我们回到前面的那个, 如果我们说log以5为底1/25的对数, 也就是5的几次方等于1/25? 我们要取它的-2次方。 或者你可以说5的-2次方 等于1/25。 它们说的是完全一样的事情。 现在让我们再做一个。 5的-1次方会怎样? 我得到1/5。 我们看一下原本的这个, 也就是log以5为底1/5的对数。 要小心。 也就是说,取5的几次方 才能得到1/5。 我们要取它的-1次方。 取5的0次方会怎样? 我得到1。 这个关系——也就是 log以5为底1的对数。 5的几次方等于1? 我只需要取0次方。 让我们来做下面两个。 5的一次方会怎样? 我得到5,如果你看这里, 也就是5的几次方等于5? 我们只需要取它的一次方。 最后,取5的平方,得到25。 从对数的角度来看, 5的几次方 等于25呢? 我们要取它的2次方。 所以我取对数的反函数。 我把它写成指数函数。 我把因变量和自变量互换了, 这样我就可以得到简洁明了的x,从而得到 简洁明了的y。 现在这个问题解决了,但是我想提醒你, 我可以在这里随便选一些数, 但是我可能会在这里得到不那么 简洁明了的数。 我就得用计算器了。 我这样做的唯一原因是, 这样我可以得到简洁的可以用手画的结果。 让我们来画一下。 让我们把它画在这里。 y在-2和2之间。 x从1/25一直到25。 让我们把它画出来。 这是y轴,这是x轴。 像这样画。 这是x轴。 然后y从0开始。 然后是1、2。 然后是-1。 然后-2。 然后在x轴上,都是正的。 想一下这个定义域 是否为一个对数函数 定义了一个 非正的x? 5的几次方有可能得到0? 不可能。 你可以取5的无穷负次方来得到一个 非常非常非常非常小的接近于0的数, 但是你不可能得到 能等于0的5的次幂。 所以x不可能是0。 也没有5的次幂可以得到 另一个负数。 所以x也不能是负数。 所以这个函数的定义域——这是相关的, 因为我们要考虑我们要画出什么—— 这里的定义域是x必须大于0。 让我写下来。 定义域是x必须大于0。 所以我们只能在 x轴正方向画出这个函数的图像。 解决了这个,x就变成了25。 让我把这些点画出来。 这是5、10、15、20、25。 然后把这些代入。 第一个是蓝色的。 当x是1/25,y是-2, 当x是1/25,1在这里—— 1/25很接近这里——y是-2。 大概在这里, 不完全在y轴上。 在y轴右边1/25处。 但相当靠近。 在这里。 也就是(1/25,-2)。 然后,当x是1/5,稍微往右一点, 1/5y等于-1。 就在这里。 所以这是(1/5,-1)。 当x=1,y=0。 所以1可能在这里。 这是点(1,0)。 当x=5,y=1。 当x=5时,我写在这里,当这是5时, y是1。 这是点(5,1)。 最后,当x=25,y=2。 这是(25,2)。 然后我可以画出这个函数的图像。 让我用一种颜色,我用粉色。 当x变得非常非常非常小, y趋于负无穷。 它会变得非常小——为了得到x或者说当x变成—— 5的几次方 才能得到0.0001? 它必须是非常非常非常负的次幂。 所以当趋近于0时,y是负的。 然后像这样向上移动。 然后开始像这样向右弯曲。 而这个, 会以越来越陡的速度下降。 它永远不会完全接触到 y轴。 它会越来越接近y轴。 但它永远不会完全触碰到它。